Решение прямоугольных треугольников

Решить прямоугольный треугольник — значит вычислить все его стороны и углы по каким-либо данным, определяющим этот треугольник.

Рассмотрим основные случаи решения прямоугольного треугольника.

---

---

Задача 1. По гипотенузе и острому углу.

Дано: Гипотенуза c и острый угол A. Найти катеты a и b, острый угол В.

Решение. Имеем: $$ а = c\bullet\sin(А) \,\,;\,\, b = c\bullet\cos(A) \,\,;\,\, \angle\,В = 90^\circ - \angle\,А $$

---

Задача 2. По катету и острому углу.

Дано: а и $\angle\, А$. Найти с, b и $\angle\, В$.

Решение. Имеем: $$ с = \frac{a}{\sin A} \,\,;\,\, b = \frac{a}{{\rm tg}\, A} \,\,;\,\, \angle\,B = 90^\circ - \angle\,A $$

---

Задача 3. По гипотенузе и катету.

Дано: с и а. Найти $b,\, \angle\,А \,\text{и}\, \angle\,В$.

Решение. Имеем: $$ b = \sqrt{ c^2 - а^2 } \,\,;\,\, \sin А = \frac{a}{c} \,\,;\,\, \cos В = \frac{a}{c} $$

---

Задача 4. По двум катетам.

Дано: a и b. Найти $c, \angle\,A \,\text{и}\, \angle\,B$.

Решение. Имеем: $$ c = \sqrt{ a^2 + b^2 } \,\,;\,\, {\rm tg}\, A = \frac{a}{b} \,\,;\,\, {\rm tg}\, B = \frac{b}{a} $$

---

Пример 1. $c = 18,2\,, \angle\,А = 32^{\circ}{20}'$. Найти $а, b \,и\, \angle\,В$.

Решение. $$ а = 18,2 • \sin 32°20' \approx 18,2 • 0,5349 \approx 9,74; \\ b = 18,2 • \cos 32°20' \approx 18,2 • 0,8450 \approx 15,4; \\ \angle\,В = 90° - 32°20' = 57°40'. $$

---

Пример 2. $а = 18\,, \angle\,А = 47°$. Найти $c, b \,и\, \angle\,B$.

Решение. $$ \angle\,В = 90° - 47° = 43°; \\ с = \frac{18}{\sin 47°} \approx \frac{18}{0,7314} \approx 24,61; \\ b = \frac{18}{\sin 47°} \approx \frac{18}{1,0724} \approx 18 \bullet 0,9325 \approx 24,61\,. $$

---

Пример 3. $с = 65\,, а = 16$. Найти $b\,, \angle\,А \,и\, \angle\,В$.

Решение. $$ b = \sqrt{65^2 - 16^2} = \sqrt{(65 + 16)(65 - 16)} = \sqrt{81 • 49} = 9 • 7 = 63; \\ \sin A = \frac{16}{65} \approx 0,2461 \,\, \text{, отсюда}\, \angle\,A \approx 14°15' \\ \angle\,B \approx 90° - 14°15' = 75°45'\,. $$

---

Пример 4. а = 12, b = 15. Найти $c, \angle\,А и \angle\,В$.

Решение. $$ c = \sqrt{l2^2 + 15^2} = \sqrt{144 + 225} = \sqrt{369} \approx 19,2; \\ {\rm tg}\, А = \frac{12}{15} = 0,8\,\,\text{, отсюда}\,\, \angle\,А \approx 38°39' \\ \,и\, \angle\,В \approx 90° - 38°39' = 51°21'\,. $$

---

---