Тригонометрические выражения и тригонометрические формулы

Отметим на координатной оси Ох справа от точки О точку А и построим окружность с центром в точке О и радиусом ОА (так называемым начальным радиусом).

Окружность с центром в точке О и радиусом ОА

Рис.1

Пусть при повороте на угол a против часовой стрелки начальный радиус ОА переходит в радиус ОВ.

Тогда:

Синусом (sin α) угла α называется отношение ординаты точки В к длине радиуса.
Косинусом (cos α) угла α называется отношение абсциссы точки В к длине радиуса.
Тангенсом (tg α) угла α называется отношение ординаты точки В к ее абсциссе.
Котангенсом (ctg α) угла α называется отношение абсциссы точки В к ее ординате.
Секанс определяется как sec α = 1/(cos α)
Косеканс определяется как cosec α = 1/(sin α)
В западной литературе тангенс, котангенс и косеканс обозначаются tan x, cot x, csc x

Если координаты точки В равны x и y, то:

$$\sin{\alpha} = \frac{y}{R}\;;\; \cos{\alpha} = \frac{x}{R}\;;\; {\rm tg}\, \alpha = \frac{y}{x}\;;\; {\rm ctg}\, \alpha = \frac{x}{y}$$

Таблица значений sin α, cos α, tg α, ctg α

Приведем таблицу значений тригонометрических функций некоторых углов (прочерк сделан, когда выражение не имеет смысла):

	0º 0 рад	30º $$\frac{\pi}{6}$$	45º $$\frac{\pi}{4}$$	60º $$\frac{\pi}{3}$$	90º $$\frac{\pi}{2}$$	180º $$\pi$$	270º $$\frac{3\pi}{2}$$	360º $$2\pi$$
Таблица значений sin α, cos α, tg α, ctg α
$$\sin \alpha$$	0	$$\frac{1}{2}$$	$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$	$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$	1	0	-1	0
$$\cos \alpha$$	1	$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$	$$\frac{\sqrt{2}}{2}$$	$$\frac{1}{2}$$	0	-1	0	1
$${\rm tg}\, \alpha$$	0	$$\frac{1}{\sqrt{3}}$$	1	$$\sqrt{3}$$	-	0	-	0
$${\rm ctg}\, \alpha$$	-	$$\sqrt{3}$$	1	$$\frac{1}{\sqrt{3}}$$	0	-	0	-

Свойства синуса (sin), косинуса (cos), тангенса(tg) и котангенса(ctg):

Синус, тангенс и котангенс - нечетные функции; косинус - четная функция.
- Для чётной функции справедливо равенство: y(-x) = y(x). Примеры чётных функций: y = cos(x), y = x².
- Для НЕчётной функции справедливо равенство: y(-x) = -y(x). Примеры НЕчётных функций: y = sin(x), y = x.
При изменении угла на целое число оборотов значения тригонометрических функций не меняются.

1 радиан - это мера центрального угла, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса окружности.

Связь радианов с градусами: $1° =\frac{\pi}{180}\text{рад; 1 рад }=\frac{180°}{\pi}$.

X	$\frac{\pi}{2}-\alpha$	$\frac{\pi}{2}+\alpha$	$\pi-\alpha$	$\pi+\alpha$	$\frac{3\pi}{2}-\alpha$	$\frac{3\pi}{2}+\alpha$	$2\pi-\alpha$	$2\pi+\alpha$
sin x	cos α	cos α	sin α	-sin α	-cos α	-cos α	-sin α	sin α
cos x	sin α	-sin α	-cos α	-cos α	-sin α	sin α	cos α	cos α
tg x	ctg α	-ctg α	-tg α	tg α	ctg α	-ctg α	-tg α	tg α
ctg x	tg α	-tg α	-ctg α	ctg α	tg α	-tg α	-ctg α	ctg α