Отметим на координатной оси Ох справа от точки О точку А и построим окружность с центром в точке О и радиусом ОА (так называемым начальным радиусом).
Пусть при повороте на угол a против часовой стрелки начальный радиус ОА переходит в радиус ОВ.
Тогда:
Если координаты точки В равны x и y, то:
$$\sin{\alpha} = \frac{y}{R}\;;\; \cos{\alpha} = \frac{x}{R}\;;\; {\rm tg}\, \alpha = \frac{y}{x}\;;\; {\rm ctg}\, \alpha = \frac{x}{y}$$
Приведем таблицу значений тригонометрических функций некоторых углов (прочерк сделан, когда выражение не имеет смысла):
Таблица значений sin α, cos α, tg α, ctg α | ||||||||
0º | 30º | 45º | 60º | 90º | 180º | 270º | 360º | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 рад | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ | |
$\sin \alpha$ | 0 | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | 1 | 0 | -1 | 0 |
$\cos \alpha$ | 1 | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | 0 | -1 | 0 | 1 |
$\textrm{tg}\, \alpha$ | 0 | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ | 1 | $\sqrt{3}$ | — | 0 | — | 0 |
$\textrm{ctg}\, \alpha$ | — | $\sqrt{3}$ | 1 | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ | 0 | — | 0 | — |
Свойства синуса (sin), косинуса (cos), тангенса(tg) и котангенса(ctg):
1 радиан - это мера центрального угла, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса окружности.
Связь радианов с градусами: $1° =\frac{\pi}{180}\text{рад; 1 рад }=\frac{180°}{\pi}$.
X | $\frac{\pi}{2}-\alpha$ | $\frac{\pi}{2}+\alpha$ | $\pi-\alpha$ | $\pi+\alpha$ | $\frac{3\pi}{2}-\alpha$ | $\frac{3\pi}{2}+\alpha$ | $2\pi-\alpha$ | $2\pi+\alpha$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
sin x | cos α | cos α | sin α | -sin α | -cos α | -cos α | -sin α | sin α |
cos x | sin α | -sin α | -cos α | -cos α | -sin α | sin α | cos α | cos α |
tg x | ctg α | -ctg α | -tg α | tg α | ctg α | -ctg α | -tg α | tg α |
ctg x | tg α | -tg α | -ctg α | ctg α | tg α | -tg α | -ctg α | ctg α |
Один из способов использования: свести всё к tg(x/2) и путём замены получить обычное алгебраическое выражение.