Пусть ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом С и острым углом при вершине А, равным α (рис.1).
Косинусом угла α (обозначается cos α) называется отношение прилежащего катета АС к гипотенузе АВ: $$ \cos \alpha = \frac{AC}{AB} \ \ \ (1) $$ Синусом угла α (обозначается sin α) называется отношение противолежащего катета ВС к гипотенузе АВ: $$ \sin \alpha = \frac{BC}{AB} \ \ \ (2) $$ Тангенсом угла α (обозначается tg α) называется отношение противолежащего катета ВС к прилежащему катету АС: $$ {\rm tg}\, \alpha = \frac{BC}{AC} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1}{{\rm ctg}\, \alpha}\ \ \ (3) $$ Котангенсом угла α (обозначается ctg α) называется отношение прилежащего катета AС к противолежащему катету BС: $$ {\rm ctg}\, \alpha = \frac{AC}{BC} = \frac{\cos \alpha}{\sin\alpha} = \frac{1}{{\rm tg}\, \alpha} $$
Косинус, синус, тангенс и котангенс угла зависят только от величины угла. Поэтому cos α, sin α, tg α и ctg α являются функциями угла α. Эти функции называются тригонометрическими. Пишут так же: cos(α), sin(α), tg(α) и ctg(α).
Так как в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета (следствие 3), то cos α < 1 и sin α < 1.
Для sin α, cos α, tg α и ctg α составлены специальные таблицы. Эти таблицы позволяют по данному углу α найти sin α, cos α, tg α и ctg α или по значениям sin α, cos α, tg α и ctg α найти соответствующий угол. Для этой цели используют также и микрокалькуляторы.
Таблица значений sin α, cos α, tg α, ctg α | ||||||||
0º 0 рад | 30º $$\frac{\pi}{6}$$ | 45º $$\frac{\pi}{4}$$ | 60º $$\frac{\pi}{3}$$ | 90º $$\frac{\pi}{2}$$ | 180º $$\pi$$ | 270º $$\frac{3\pi}{2}$$ | 360º $$2\pi$$ |
|
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
$$\sin \alpha$$ | 0 | $$\frac{1}{2}$$ | $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ | $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ | 1 | 0 | -1 | 0 |
$$\cos \alpha$$ | 1 | $$\frac{\sqrt{3}}{2}$$ | $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$ | $$\frac{1}{2}$$ | 0 | -1 | 0 | 1 |
$${\rm tg}\, \alpha$$ | 0 | $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$ | 1 | $$\sqrt{3}$$ | - | 0 | - | 0 |
$${\rm ctg}\, \alpha$$ | - | $$\sqrt{3}$$ | 1 | $$\frac{1}{\sqrt{3}}$$ | 0 | - | 0 | - |