Теорема Пифагора

Теорема 1. Теорема Пифагора¹⁾. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. AB² = AC² + BC²

Рис.1

Доказательство. Пусть ABC — данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С (рис.1). Получили два прямоугольных треугольника. По определению косинуса угла А запишем: $$ \cos A = \frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB} $$ Отсюда AB • AD = AC² . Аналогично, $$ \cos B = \frac{BD}{BC} = \frac{BC}{AB} $$ Отсюда АВ • BD = ВС² .

Складывая полученные равенства почленно и учитывая, что AD + DB = АВ, получим:
АС² + ВС² = AB(AD + DB) = АВ².
Теорема доказана.

Пример 1. В прямоугольнике ACBD (рис.2) стороны равны 5 см и 12 см. Чему равна диагональ АВ?

Рис.2

Решение. Из прямоугольного треугольника АСВ согласно теореме Пифагора имеем: AB² = AC² + BC² или AB² = 12² + 5² = 169 и, значит, АB = 13 (см).

Пример 2. Диагонали ромба ABCD (рис.3) равны 24 м и 70 м. Найти его сторону.

Рис.3

Решение. Как известно (теорема 1), диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. Поэтому треугольник АОВ (см. рис.3) прямоугольный с катетами 12 м и 35 м и, значит, по теореме Пифагора $$ АВ = \sqrt{12^2 + 35^2} = \sqrt{144 + 1225} = \sqrt{1369} = \ 37 \ (м). $$

Пример 3. Основание равнобедренного треугольника a, боковая сторона /b. Найти биссектрису, проведенную из вершины, противолежащей основанию.

Решение. Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием АВ и CD — его биссектриса (рис.4).

Рис.4

Эта биссектриса является одновременно медианой и высотой. Поэтому $AD = \frac{1}{2} \ AB$ и треугольник ADC прямоугольный с прямым углом D. По теореме Пифагора $$ AC^2 = AD^2 + DC^2 \ \ , \ \ b^2 = \left (\frac{a}{2} \right )^2 + DC^2 . $$ Отсюда $$ DC = \sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}} . $$

Пример 4. Мальчик прошёл по направлению от дома 1200 метров, затем повернул на север и прошёл 500 метров. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказался мальчик?

Видео-решение.

Пример 5. Высота конуса равна 4 , а длина образующей - 5. Найдите диаметр основания конуса.

Видео-решение.

Пример 6. Найдите диагональ прямоугольника ABCD, если стороны квадратных клеток на рисунке равны 1.

Видео-решение.