Правильный многоугольник
Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.
Примеры правильных многоугольников: правильный (или равносторонний) треугольник, квадрат, правильные пятиугольник, шестиугольник и т.д. На рисунке 1 изображены правильные пятиугольник и шестиугольник.
Правильные пятиугольник и шестиугольник
Рис.1
Так как сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна (n - 2)180 , то каждый внутренний угол правильного n-угольника равен $$ \frac{n - 2}{n} \bullet 180^{\circ} $$
Теорема 1. Если выпуклый многоугольник правильный, то:
- около него можно описать окружность;
- в него можно вписать окружность, причем центры описанной и вписанной окружностей совпадают.
Эта точка называется центром правильного многоугольника.
Приведем формулы для радиуса R описанной окружности и радиуса r вписанной окружности для правильного n-угольника со стороной а: $$ R = \frac{a}{2 \sin { \frac{180 ^{\circ}}{n} } } \,\,\, (1) \\ r = \frac{a}{2 {\rm tg}\, { \frac{180 ^{\circ}}{n} } } \,\,\, (2) $$
 |
Пример 1. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внутренних углов которого равен 135°?
Решение. По условию задачи составим уравнение $$ \frac{n - 2}{n} \bullet 180 = 135 \\ \text{ или } \\ (n - 2) \bullet 180 = 135 \bullet n $$ , откуда 45n = 360 и, значит, n = 8.
Для выпуклых правильных многоугольников справедлива следующая теорема.
Пример 2. Для правильного (равностороннего) треугольника $ \left ( n = 3\,; \frac{180 ^{\circ}}{3} = 60^{\circ} \right) $ $$ R = \frac{a}{2 \bullet \sin 60 ^{\circ} } = \frac{a}{ \sqrt{3} } \\ r = \frac{a}{2 \bullet {\rm tg}\, 60 ^{\circ} } = \frac{a}{ 2 \sqrt{3} } $$
Пример 3. Для правильного четырехугольника, т. е. квадрата $ \left ( n = 4\,; \frac{180 ^{\circ}}{4} = 45^{\circ} \right) $ $$ R = \frac{a}{2 \bullet \sin 45 ^{\circ} } = \frac{a}{ \sqrt{2} } \\ r = \frac{a}{2 \bullet {\rm tg}\, 45 ^{\circ} } = \frac{a}{2} $$
Пример 4. Для правильного шестиугольника $ \left ( n = 6\,; \frac{180 ^{\circ}}{6} = 30^{\circ} \right) $ $$ R = \frac{a}{2 \bullet \sin 30 ^{\circ} } = a \,\,;\,\, r = \frac{a}{2 \bullet {\rm tg}\, 30 ^{\circ} } = \frac{a \sqrt{3} }{2} \,\,\, (3) $$ Из формул (1) и (2) получаем: $$ a = 2R \bullet \sin \frac{180^{\circ}}{n} \,\,\, (4) \\ \text{ и } \\ a = 2r \bullet {\rm tg}\, \frac{180^{\circ}}{n} \,\,\, (5) $$
Пример 5. Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна 3. Найти сторону квадрата, вписанного в эту окружность.
Решение. Согласно примеру 2 $$ R = \frac{3}{ \sqrt{3} } = \sqrt{2} $$ Если a — сторона квадрата, вписанного в ту же окружность, то согласно формуле (4) $$ a = 2 \bullet \sqrt{3} \bullet \sin 45 ^{\circ} = \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{2} }{2} = \sqrt{6} $$
|