Площадь трапеции
Теорема 1. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
Доказательство. Проведя в трапеции ABCD (рис.1) диагональ DB, можно рассматривать ее площадь S как сумму площадей двух треугольников BCD и ADB.
Рис.1
Поэтому $$ S = \frac{1}{2}DC \bullet h + \frac{1}{2}AB \bullet h = \frac{1}{2}(DC + AB)h $$ , где h — высота трапеции.
 |
Пример 1. Стекла фонаря имеют вид трапеции, параллельные стороны которой равны 22 см и 18 см, а расстояние между ними — 10 см. Как велика площадь каждого стекла?
Решение. Согласно теореме 1, искомая площадь: $$ S = \frac{1}{2} (22 + 18)10 = 20 • 10 = 200 (см^2) $$
Пример 2. Найти площадь трапеции, параллельные стороны которой равны 16 м и 44 м, а непараллельные — 17 ми 25 м.
Решение. Пусть ABCD — трапеция, отвечающая условию задачи, тогда AD = 44, ВС = 16 (рис.2).
Рис.2
Следовательно, АЕ + KD = 28 (BE и СК — высоты).
Обозначим АЕ через х, тогда KD = 28 - х.
По условию АВ = 17, CD = 25. Значит, из прямоугольного треугольника ABE $$ BE^2 = 17^2 - x^2 $$ Из прямоугольного треугольника CKD согласно теореме Пифагора запишем: $$ CK^2 = 25^2 - (28 - х)^2 $$ Так как BE = СК, то $$ 17^2 - x^2 = 25^2 - (28 - x)^2 $$ , откуда х = 8.
Тогда $$ BE = \sqrt{17^2 - x^2} = 15 (м). $$ Площадь трапеции $$ S = \frac{16 + 44}{2} \bullet 15 = 450(м^2). $$
Пример 3. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке 3.
Рис.3
Видео-решение.
Пример 4. Основания трапеции равны 8 и 34, площадь равна 168. Найдите высоту трапеции.
Видео-решение.
|