Площадь правильного многоугольника
Теорема 1. Площадь правильного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности:
$$ S = \frac{1}{2}Pr \,\,\, (1)$$
, где P — периметр многоугольника, а r — радиус вписанной в него окружности.
Площадь правильного шестиугольника можно посчитать и как суму площадей 6 равных треугольников, его составляющих: $S_{6}=6\cdot(\frac{1}{2}a^{2}\cdot\sin{60^{o}})=\frac{3\cdot\sqrt{3}\cdot a^{2}}{2}$, где $a$ – сторона этого правильного шестиугольника.
 |
—- Пример 1. Вычислить площадь правильного шестиугольника, периметр которого равен 30 дм.
Решение. Так как периметр данного правильного шестиугольника равен 30 дм, то его сторона равна 5 дм. Отсюда радиус вписанной в него окружности $r = \frac{5\sqrt{3}}{2}$ (пример 4, (3)) и, значит, согласно формуле (1) искомая площадь $$ S = \frac{1}{2} \bullet 30 \bullet \frac{5\sqrt{3}}{2} = \frac{75\sqrt{3}}{2} \approx 65 (\text{дм}^2) $$
Пример 2. Найти площадь равностороннего треугольника со стороной a.
Решение. Периметр данного треугольника равен 3a; радиус вписанной в него окружности равен $\frac{a}{2\sqrt{3}}$ (пример 2).
Следовательно, согласно формуле (1) искомая площадь
$$ S = \frac{1}{2} \bullet 3a \bullet \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{3a^2}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 $$
|