Многоугольник
Многоугольник — это простая замкнутая ломаная. Звенья ломаной — стороны, вершины ломаной — вершины многоугольника. Многоугольник с n сторонами называется n-угольником. Многоугольником также называется часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломаной (плоский многоугольник). Периметр многоугольника — сумма длин его сторон.
Многоугольник называется выпуклым (рис.1), если он лежит по одну сторону относительно прямой, содержащей любую его сторону.
Многоугольник выпуклый
Рис.1
Углы (внутренние) выпуклого многоугольника — это углы, образованные соседними сторонами. Число углов многоугольника равно числу сторон и числу вершин. Среди углов невыпуклого многоугольника имеется хотя бы один угол, больший 180°.
Теорема 1. Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n - 2) 180°
Доказательство. Соединим диагоналями вершину A1 выпуклого n-угольника (рис.2) с другими вершинами.
Рис.2
Получим n - 2 треугольника, сумма углов которых равна сумме углов n-угольника. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, поэтому сумма углов многоугольника A1A2 … An равна (n - 2) • 180° .
Теорема доказана.
 |
Пример 1. Найти сумму углов выпуклого семиугольника.
Решение. По доказанной теореме искомая сумма равна $(7 - 2)180° = 5 • 180° = 900°$.
Пример 2. Найти углы выпуклого пятиугольника, если они пропорциональны числам 1, 3, 5, 7, 11.
Решение. Сумма углов выпуклого пятиугольника равна $$ (5 - 2) • 180° = 3 • 180° = 540° $$ Приняв за x меньший из углов, составим уравнение: $$ x + 3x + 5x + 7x + 11x = 540 $$ , откуда x = 20. Таким образом, углы пятиугольника равны 20°, 60°, 100°, 140°, 220°.
Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на некоторой окружности. В этом случае также говорят: «Окружность описана около многоугольника» (рис.3, а).
Рис.3
Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности. В этом случае также говорят: «Окружность вписана в многоугольник» (рис.3, б).
|