Введение в геометрию

Геометрия — наука о свойствах геометрических фигур. К числу геометрических фигур относятся, например, треугольник, квадрат, круг, сфера и т. д.

Слово «геометрия» греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие».

Школьная геометрия состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии.

Планиметрия — это раздел геометрии, в котором изучаются геометрические фигуры на плоскости.

Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.

Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Точка не имеет размеров. Точки обозначаются прописными (заглавными) латинскими буквами: А, В, С, …. Прямую можно мысленно продолжить в обе стороны безгранично.

Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: а, &, с, …. Прямую можно обозначать также двумя буквами, соответствующими точкам, лежащим на ней. На рисунке 1 изображены точка А, прямые а и АВ. Свойства геометрической фигуры выражаются в виде предложений.

Рассуждение, устанавливающее какое-либо свойство, называют доказательством. Доказываемое свойство называют теоремой. При доказательстве теоремы мы опираемся на ранее установленные свойства. Некоторые из них, в свою очередь, являются теоремами, некоторые же считаются в геометрии основными и принимаются без доказательства.

Последние называют аксиомами. Мы не будем приводить всех аксиом, а ограничимся некоторыми из них.

Аксиома 1. Для любой прямой существуют точки, принадлежащие прямой, и точки, не принадлежащие прямой.

Если А — точка и а — прямая, то либо А принадлежит а, либо А не принадлежит а. В первом случае говорят, что прямая а проходит через точку А, во втором случае — прямая а не проходит через точку А.

Аксиома 2. Через любые две различные точки проходит одна и только одна прямая.

Отсюда следует, что две различные прямые имеют не более одной общей точки.

Говорят, что две прямые пересекаются, если они имеют только одну общую точку.

Аксиома 3. Если две точки прямой принадлежат некоторой плоскости, то прямая принадлежит этой плоскости.

Предложение, которое вытекает (получается) из теоремы или аксиомы, называют следствием. Например, из аксиомы 2, как уже отмечалось, вытекает, что две различные прямые имеют не более одной общей точки.

Некоторые понятия в геометрии мы принимаем за начальные, их содержание можно выяснить только из опыта. К таким понятиям относятся, например, точка и прямая. Все остальные понятия мы выясняем, опираясь на начальные. Такие объяснения называют определениями. Каждое определение опирается либо непосредственно на начальные понятия, либо на понятия, определенные прежде.

---

---