Ромб

Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны (рис.1).

Рис.1

Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма.

Рассмотрим особое свойство ромба.

Теорема 1. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Доказательство. Рассмотрим ромб ABCD (рис.2).

Рис.2

Требуется доказать, что АС ⊥ BD и каждая диагональ делит соответствующие углы ромба пополам. Докажем, например, что ∠ ВАС = ∠ DAC.

По определению ромба АВ = AD, поэтому треугольник BAD равнобедренный. Так как ромб — параллелограмм, то его диагонали точкой О делятся пополам. Следовательно, АО — медиана равнобедренного треугольника BAD, а значит, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому АС ⊥ BD и ∠ ВАС = ∠ DAC, что и требовалось доказать.

Пример 1. Определить углы ромба ABCD (рис.3) при условии, что его меньшая диагональ АС равна стороне ромба.

Рис.3

Решение. Так как по условию диагональ АС равна стороне ромба (а в ромбе все стороны равны), то треугольник ABC — равносторонний и, значит, ∠ ABC = 60°. Тогда (теорема 1) ∠ BAD = 120°. Наконец, по той же теореме ∠ D = ∠ B = 60° и ∠ BCD = ∠ BAD = 120°.

Пример 2. Сторона ромба составляет с его диагоналями два угла, из которых один больше другого на 50%. Вычислить углы ромба.

Решение. Пусть условию задачи удовлетворяет рисунок 2.

Рис.2

Обозначим градусную меру угла АВО через х, тогда ∠ ВАО = x + O,5 x = 1,5 x. В силу теоремы 1 треугольник АОВ — прямоугольный и, значит, откуда х = 36. Теперь согласно той же теореме имеем:
∠ ABC = 36° • 2 = 72° , следовательно, ∠ BAD = 180° - 72° = 108°.
Наконец, ∠ ADC = ∠ ABC = 72° и ∠ BCD = ∠ BAD = 108°.

Пример 3. Укажите номера верных утверждений.

1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
2. Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
3. Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат.

Видео-решение.