Диагонали и признаки параллелограмма
Теорема 1. Свойство диагоналей параллелограмма. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Рис.2
Следующая теорема выражает признаки параллелограмма.
Теорема 2. Если в выпуклом четырехугольнике:
- противоположные стороны равны между собой, или
- две противоположные стороны равны и параллельны, или
- диагонали точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник — параллелограмм.
Доказательство проведем для одного из этих признаков, например для признака 1.
Пусть ABCD — четырехугольник, у которого АВ = CD, ВС = AD (рис.1).
Рис.1
Докажем, что ABCD — параллелограмм, т. е. что АВ || CD, ВС || AD. Проведем диагональ АС и получим два треугольника ABC и ADC. Так как АС — общая сторона, АВ = CD, ВС = AD (по условию), то Δ ABC = Δ ADC. Поэтому ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 4 = ∠ 3, а из равенства накрест лежащих углов следует параллельность прямых: ВС || AD, АВ || CD.
 |
Пример 1. Диагональ BD параллелограмма ABCD (рис. 2) равна 8 см. Найти длину медианы к стороне АС в треугольнике ABC.
Рис.2
Решение. Согласно теореме 1 диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Поэтому ВО — медиана треугольника ABC к стороне АС и ВО = 1/2 * BD = 1/2 * 8 = 4 (см).
Параллелограмм. Пример 2
Две стороны параллелограмма равны 10 и 9.
Из одной вершины на две стороны опустили высоты, как показано на рисунке.
Длина большей из высот равна 6. Найдите длину другой высоты.
|