Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

--- subjects:diffury:интегрирующий_множитель [2014/12/11 04:55]
¶ создано
+++ subjects:diffury:интегрирующий_множитель [2014/12/15 20:28] (текущий)
¶
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-<box 60%|[[start]]>
+|[** ⇐ [[start|Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ)]] **]|
-  * **[[]]**
-</box>
 ====== Интегрирующий множитель ======
@@ Строка 12: / Строка 10: @@
 Такая функция $\mu(x,y)$ называется интегрирующим множителем из определения интегрирующего множителя
-$ \frac{d}{dy}(\mu M)=\frac{d}{dx}(\mu N)$
+$$ \frac{\partial}{\partial y}(\mu M)=\frac{\partial}{\partial x}(\mu N)$$
-или
+( ''[[уравнение в полных дифференциалах|см.уравнение в полных дифференциалах (2)]]'' ) или
-$ N\frac{d\mu}{dy}= \left ( \frac{dM}{dy}-\frac{dN}{dx} \right ) \mu $
+$ N\frac{\partial\mu}{\partial y}-M\frac{\partial\mu}{\partial y}= \left ( \frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x} \right ) \mu $
 $$
- N\frac{d\ln{\mu}}{dx}
+ N\frac{\partial\ln{\mu}}{\partial x}
  -
- M\frac{d\ln{\mu}}{dy}
+ M\frac{\partial\ln{\mu}}{\partial y}
  =
- \frac{dM}{dy}-\frac{dN}{dx}
+ \frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}
  \qquad (2)
 $$
@@ Строка 27: / Строка 25: @@
 Некоторые частные случаи, когда удаётся легко найти интегрирующий множитель.
-===== 1 =====
+===== Случай 1 =====
-Если $\mu=\mu(x)$, то $\frac{d\mu}{dy}=0$ и уравнение (**2**) примет вид
+Если $\mu=\mu(x)$, то $\frac{\partial\mu}{\partial y}=0$ и уравнение (**2**) примет вид
 $$
- \frac{d\ln{\mu}}{dx}
+ \frac{\partial\ln{\mu}}{\partial x}
  =\frac{
-  \frac{dM}{dy}-\frac{dN}{dx}
+  \frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}
  }{N}
  \qquad (3)
@@ Строка 46: / Строка 44: @@
 $M=x+y^{2} \,,\, N=-2xy$
 имеем
-$\frac{ \frac{dM}{dy}-\frac{dN}{dx} }{N} = \frac{2y+2y}{-2xy} = -\frac{2}{x}$
+$\frac{ \frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x} }{N} = \frac{2y+2y}{-2xy} = -\frac{2}{x}$
 , следовательно
-$\frac{d\ln{\mu}}{dx} = -\frac{2}{x}$
+$\frac{\partial\ln{\mu}}{\partial x} = -\frac{2}{x}$
 ,
 $\ln{\mu} = -2\ln{|x|}$
@@ Строка 56: / Строка 54: @@
 Уравнение
 $\frac{x+y^{2}}{x^{2}} dx- \frac{2xy}{x^{2}}dy =0$
-в полных дифференциалах.
+[[уравнение в полных дифференциалах|в полных дифференциалах]].
 Его можно представить в виде
@@ Строка 65: / Строка 63: @@
 $x=Ce^{y^{2}}{x}$
-===== 2 =====
+===== Случай 2 =====
 Аналогично, если
-$\left ( \frac{dN}{dx} - \frac{dM}{dy} \right )\frac{1}{M}$
+$\left ( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} \right )\frac{1}{M}$
 есть функция только ''y'', то уравнение (**1**) имеет интегрирующий множитель $\mu=\mu(y)$ , зависящий только от ''y''.
@@ Строка 109: / Строка 107: @@
 $$
-Найдём частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
+Найдём частное решение, удовлетворяющее начальным условиям ([[решение задачи коши|решим задачу Коши]])
 $$
  y|_{x=0}=a \;;\; {y}'|_{x=0}=0
@@ Строка 116: / Строка 114: @@
 $$
-''Замечание.'' Аналогично можно проинтегрировать уравнение
+===== Примеры =====
-$$ y^{n}=f(x,y^{n-1}) $$
+**Пример 3**
-**2**. Уравнение вида
 $$
- \frac{d^{2}y}{dx^{2}}
+ P(x,y)\;dx+Q(x,y)\;dy=0
- =f \left (
-  y, \frac{dy}{dx}
- \right )
- \qquad (2)
-$$
-не содержит явным образом независимой переменной ''x''.
-Для его решения снова положим
-$$
- \frac{dy}{dx}=p
- \qquad (3)
-$$
-но теперь будем считать ''p'' функцией от ''y'' (а не от ''x'', как прежде). Тогда
-$$
- \frac{d^{2}y}{dx^{2}}
- =\frac{dp}{dx}
- =\frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}
- =\frac{dp}{dy} \cdot p
-$$
-Подставляя выражение $\frac{dy}{dp}$ и $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ в уравнение (**2**), получим уравнение 1-ого порядка
-$p\frac{dp}{dy}=f(y,p)$
-Интегрируя его, найдём ''p'' , как функцию ''y'' и производной постоянной $C_{1}$ :
-Подставляя это значение в соотношение (**3**), получим
-$$
- \frac{dy}{dx}=p(y,C_{1})
  \\
- \frac{dy}{p(y,C_{1})}=dx
+ y\cdot dx-(x+x^{2}y)dy=0
 $$
-Интегрируя это уравнение, получим общий интеграл исходного уравнения
+{{ youtube>HBk9ZWeoIMU |ДУ. Интегрирующий множитель. Пример полного решения }}
-$$ \Phi(x,y,C_{1},C_{2}=0 $$
-----
-**Пример 3.** Найти общий интеграл уравнения
-$$ x\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dy}{dx} $$
-''Решение.'' Пусть $\frac{dy}{dx}=p$ , тогда $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dp}{dx}$
-$$
- x\frac{dp}{dx}=p
- \\
- \frac{dp}{p}=\frac{dx}{x}
- \\
- \ln{|p|}=\ln{|x|}+\ln{|C_{1}|}
- \\
- p=C_{1}x
-$$
-Возвратимся к переменной ''y'': ${y}'=C_{1}x$
-$$
- y=
- \int C_{1}xdx=
- C_{1}\frac{x^{2}}{2}+C_{2}
-$$
 ----
-<box 60%>[[start]]</box>
+<box 60%|⇐ [[start|Полный список тем по ДУ]]>
+**[[start]]**
+  * [[Дифференциальные уравнения]]
+  * [[Дифференциальные уравнения первого порядка]]
+  * [[Уравнения с разделяющимися переменными]]
+  * [[Решение задачи Коши]]
+  * [[Общее решение дифференциального уравнения]]
+  * [[Однородные уравнения]]
+  * [[Уравнения, приводящиеся к однородным]]
+  * [[Линейные уравнения первого порядка]]
+  * [[Уравнение Бернулли]]
+  * [[Уравнение в полных дифференциалах]]
+  * **Интегрирующий множитель**
+  * [[Понижение порядка ду]]
+  * [[Линейные однородные уравнения 2 порядка]]
+  * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка]]
+  * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка 2]]
+  * [[Геометрические и физические задачи]]
+</box>

wiki.eduVdom.com

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Различия

Инструменты страницы

Записаться на занятия