Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
Следующая версия | Предыдущая версия Последняя версия Следующая версия справа и слева | ||
subjects:diffury:интегрирующий_множитель [2014/12/11 04:55] ¶ создано |
subjects:diffury:интегрирующий_множитель [2014/12/14 23:29] ¶ |
||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
<box 60%|[[start]]> | <box 60%|[[start]]> | ||
- | * **[[]]** | + | **[[start]]** |
+ | * [[Дифференциальные уравнения]] | ||
+ | * [[Дифференциальные уравнения первого порядка]] | ||
+ | * [[Уравнения с разделяющимися переменными]] | ||
+ | * [[Решение задачи Коши]] | ||
+ | * [[Общее решение дифференциального уравнения]] | ||
+ | * [[Однородные уравнения]] | ||
+ | * [[Уравнения, приводящиеся к однородным]] | ||
+ | * [[Линейные уравнения первого порядка]] | ||
+ | * [[Уравнение Бернулли]] | ||
+ | * [[Уравнение в полных дифференциалах]] | ||
+ | * **Интегрирующий множитель** | ||
+ | * [[Понижение порядка ду]] | ||
+ | * [[Линейные однородные уравнения 2 порядка]] | ||
+ | * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка]] | ||
+ | * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка 2]] | ||
+ | * [[Геометрические и физические задачи]] | ||
</box> | </box> | ||
- | |||
====== Интегрирующий множитель ====== | ====== Интегрирующий множитель ====== | ||
В некоторых случаях, когда уравнение | В некоторых случаях, когда уравнение | ||
Строка 12: | Строка 27: | ||
Такая функция $\mu(x,y)$ называется интегрирующим множителем из определения интегрирующего множителя | Такая функция $\mu(x,y)$ называется интегрирующим множителем из определения интегрирующего множителя | ||
- | $ \frac{d}{dy}(\mu M)=\frac{d}{dx}(\mu N)$ | + | $$ \frac{\partial}{\partial y}(\mu M)=\frac{\partial}{\partial x}(\mu N)$$ |
- | или | + | ( ''[[уравнение в полных дифференциалах|см.уравнение в полных дифференциалах (2)]]'' ) или |
- | $ N\frac{d\mu}{dy}= \left ( \frac{dM}{dy}-\frac{dN}{dx} \right ) \mu $ | + | $ N\frac{\partial\mu}{\partial y}-M\frac{\partial\mu}{\partial y}= \left ( \frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x} \right ) \mu $ |
$$ | $$ | ||
- | N\frac{d\ln{\mu}}{dx} | + | N\frac{\partial\ln{\mu}}{\partial x} |
- | - | ||
- | M\frac{d\ln{\mu}}{dy} | + | M\frac{\partial\ln{\mu}}{\partial y} |
= | = | ||
- | \frac{dM}{dy}-\frac{dN}{dx} | + | \frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x} |
\qquad (2) | \qquad (2) | ||
$$ | $$ | ||
Строка 27: | Строка 42: | ||
Некоторые частные случаи, когда удаётся легко найти интегрирующий множитель. | Некоторые частные случаи, когда удаётся легко найти интегрирующий множитель. | ||
- | ===== 1 ===== | + | ===== Случай 1 ===== |
- | Если $\mu=\mu(x)$, то $\frac{d\mu}{dy}=0$ и уравнение (**2**) примет вид | + | Если $\mu=\mu(x)$, то $\frac{\partial\mu}{\partial y}=0$ и уравнение (**2**) примет вид |
$$ | $$ | ||
- | \frac{d\ln{\mu}}{dx} | + | \frac{\partial\ln{\mu}}{\partial x} |
=\frac{ | =\frac{ | ||
- | \frac{dM}{dy}-\frac{dN}{dx} | + | \frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x} |
}{N} | }{N} | ||
\qquad (3) | \qquad (3) | ||
Строка 46: | Строка 61: | ||
$M=x+y^{2} \,,\, N=-2xy$ | $M=x+y^{2} \,,\, N=-2xy$ | ||
имеем | имеем | ||
- | $\frac{ \frac{dM}{dy}-\frac{dN}{dx} }{N} = \frac{2y+2y}{-2xy} = -\frac{2}{x}$ | + | $\frac{ \frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x} }{N} = \frac{2y+2y}{-2xy} = -\frac{2}{x}$ |
, следовательно | , следовательно | ||
- | $\frac{d\ln{\mu}}{dx} = -\frac{2}{x}$ | + | $\frac{\partial\ln{\mu}}{\partial x} = -\frac{2}{x}$ |
, | , | ||
$\ln{\mu} = -2\ln{|x|}$ | $\ln{\mu} = -2\ln{|x|}$ | ||
Строка 56: | Строка 71: | ||
Уравнение | Уравнение | ||
$\frac{x+y^{2}}{x^{2}} dx- \frac{2xy}{x^{2}}dy =0$ | $\frac{x+y^{2}}{x^{2}} dx- \frac{2xy}{x^{2}}dy =0$ | ||
- | в полных дифференциалах. | + | [[уравнение в полных дифференциалах|в полных дифференциалах]]. |
Его можно представить в виде | Его можно представить в виде | ||
Строка 65: | Строка 80: | ||
$x=Ce^{y^{2}}{x}$ | $x=Ce^{y^{2}}{x}$ | ||
- | ===== 2 ===== | + | ===== Случай 2 ===== |
Аналогично, если | Аналогично, если | ||
- | $\left ( \frac{dN}{dx} - \frac{dM}{dy} \right )\frac{1}{M}$ | + | $\left ( \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y} \right )\frac{1}{M}$ |
есть функция только ''y'', то уравнение (**1**) имеет интегрирующий множитель $\mu=\mu(y)$ , зависящий только от ''y''. | есть функция только ''y'', то уравнение (**1**) имеет интегрирующий множитель $\mu=\mu(y)$ , зависящий только от ''y''. | ||
Строка 109: | Строка 124: | ||
$$ | $$ | ||
- | Найдём частное решение, удовлетворяющее начальным условиям | + | Найдём частное решение, удовлетворяющее начальным условиям ([[решение задачи коши|решим задачу Коши]]) |
$$ | $$ | ||
y|_{x=0}=a \;;\; {y}'|_{x=0}=0 | y|_{x=0}=a \;;\; {y}'|_{x=0}=0 | ||
Строка 116: | Строка 131: | ||
$$ | $$ | ||
- | ''Замечание.'' Аналогично можно проинтегрировать уравнение | + | ===== Примеры ===== |
- | $$ y^{n}=f(x,y^{n-1}) $$ | + | **Пример 3** |
- | **2**. Уравнение вида | ||
$$ | $$ | ||
- | \frac{d^{2}y}{dx^{2}} | + | P(x,y)\;dx+Q(x,y)\;dy=0 |
- | =f \left ( | + | |
- | y, \frac{dy}{dx} | + | |
- | \right ) | + | |
- | \qquad (2) | + | |
- | $$ | + | |
- | не содержит явным образом независимой переменной ''x''. | + | |
- | + | ||
- | Для его решения снова положим | + | |
- | $$ | + | |
- | \frac{dy}{dx}=p | + | |
- | \qquad (3) | + | |
- | $$ | + | |
- | но теперь будем считать ''p'' функцией от ''y'' (а не от ''x'', как прежде). Тогда | + | |
- | $$ | + | |
- | \frac{d^{2}y}{dx^{2}} | + | |
- | =\frac{dp}{dx} | + | |
- | =\frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} | + | |
- | =\frac{dp}{dy} \cdot p | + | |
- | $$ | + | |
- | + | ||
- | Подставляя выражение $\frac{dy}{dp}$ и $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ в уравнение (**2**), получим уравнение 1-ого порядка | + | |
- | $p\frac{dp}{dy}=f(y,p)$ | + | |
- | + | ||
- | Интегрируя его, найдём ''p'' , как функцию ''y'' и производной постоянной $C_{1}$ : | + | |
- | + | ||
- | Подставляя это значение в соотношение (**3**), получим | + | |
- | $$ | + | |
- | \frac{dy}{dx}=p(y,C_{1}) | + | |
\\ | \\ | ||
- | \frac{dy}{p(y,C_{1})}=dx | + | y\cdot dx-(x+x^{2}y)dy=0 |
$$ | $$ | ||
- | Интегрируя это уравнение, получим общий интеграл исходного уравнения | + | {{ youtube>HBk9ZWeoIMU |ДУ. Интегрирующий множитель. Пример полного решения }} |
- | $$ \Phi(x,y,C_{1},C_{2}=0 $$ | + | |
- | ---- | + | |
- | **Пример 3.** Найти общий интеграл уравнения | + | |
- | $$ x\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dy}{dx} $$ | + | |
- | + | ||
- | ''Решение.'' Пусть $\frac{dy}{dx}=p$ , тогда $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dp}{dx}$ | + | |
- | $$ | + | |
- | x\frac{dp}{dx}=p | + | |
- | \\ | + | |
- | \frac{dp}{p}=\frac{dx}{x} | + | |
- | \\ | + | |
- | \ln{|p|}=\ln{|x|}+\ln{|C_{1}|} | + | |
- | \\ | + | |
- | p=C_{1}x | + | |
- | $$ | + | |
- | + | ||
- | Возвратимся к переменной ''y'': ${y}'=C_{1}x$ | + | |
- | $$ | + | |
- | y= | + | |
- | \int C_{1}xdx= | + | |
- | C_{1}\frac{x^{2}}{2}+C_{2} | + | |
- | $$ | + | |
---- | ---- | ||
- | <box 60%>[[start]]</box> | + | <box 60%|[[start]]> |
+ | **[[start]]** | ||
+ | * [[Дифференциальные уравнения]] | ||
+ | * [[Дифференциальные уравнения первого порядка]] | ||
+ | * [[Уравнения с разделяющимися переменными]] | ||
+ | * [[Решение задачи Коши]] | ||
+ | * [[Общее решение дифференциального уравнения]] | ||
+ | * [[Однородные уравнения]] | ||
+ | * [[Уравнения, приводящиеся к однородным]] | ||
+ | * [[Линейные уравнения первого порядка]] | ||
+ | * [[Уравнение Бернулли]] | ||
+ | * [[Уравнение в полных дифференциалах]] | ||
+ | * **Интегрирующий множитель** | ||
+ | * [[Понижение порядка ду]] | ||
+ | * [[Линейные однородные уравнения 2 порядка]] | ||
+ | * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка]] | ||
+ | * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка 2]] | ||
+ | * [[Геометрические и физические задачи]] | ||
+ | </box> |