Необходимым и достаточным условием равновесия плоской системы сил является равенство нулю главного вектора и главного момента системы:
$$ \vec{R_0} = 0 \\ M_0 = 0 $$
Из этого условия следуют уравнения равновесия плоской системы сил
,
которые можно записать в трех различных формах:
Таким образом, эти три формы эквивалентны условию равновесия равновесия плоской системы сил
и наоборот.
В самом деле, условие $\vec{R_0} = 0$ означает, что $|\vec{R_0}| = R_0 = 0$ . Поэтому с учетом «Теорема о приведении плоской системы сил» : $R_0^2 = (\sum X)^2 + (\sum Y)^2 = 0$ , откуда и следуют два последних уравнения «необходимого и достаточного условия равновесия плоской системы сил».
Первое из уравнений (первая форма
) получается из условия равенства нулю главного момента, если в качестве центра приведения взять точку А.
Докажем теперь, что уравнения второй формы
эквивалентны условиям равновесия плоской системы сил.
Первое из уравнений второй формы
будет выполняться в двух случаях:
Пусть одновременно выполняются два первых уравнения системы (вторая форма
).
Это по-прежнему возможно в двух случаях:
Если в дополнение к этим двум уравнениям выполняется и третье уравнение второй формы
, то это означает, что $R_y = \sum Y_i = 0$ .
При условии, что $\vec{R}$ неперпендикулярна этой оси – отсюда будет следовать, что $\vec{R} = 0$ , то есть система сил уравновешена.
Аналогично можно доказать, что условия равновесия равновесия плоской системы сил
будут следовать из
уравнений первой
или третьей форм
.
трёх форм
будут линейно зависимы. Это означает, что определитель системы алгебраических уравнений для определения опорных реакций таких систем сил становится равным нулю. первой формы
станут линейно зависимыми вследствие того, что второе из уравнений этой системы обратится в тождество, которое выполняется как для уравновешенных, так и для неуравновешенных систем. уравнения равновесия системы сил, параллельных оси Oy
, можно записать в двух формах:уравнения равновесия плоской системы сил
» системой из предыдущего пункта
– для параллельных или $ \sum X_i = 0 \;;\; \sum Y_i = 0 $ — для сходящихся сил.