Введение в стереометрию

Геометрия — наука о свойствах геометрических фигур. К числу геометрических фигур относятся, например, треугольник, квадрат, круг, сфера и т. д.

Школьная геометрия состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии.

Планиметрия — это раздел геометрии, в котором изучаются геометрические фигуры на плоскости.

Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве.

Основные геометрические фигуры в стереометрии: точки, прямые, плоскости.

При решении стереометрических задач очень важно научиться распознавать и выделять в пространственных образах разнообразные плоские фигуры.

Аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве:

• Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Через три точки, лежащие на одной прямой, можно провести бесчисленное множество плоскостей.
• Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости (т.е. прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую).
• Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все точки этих плоскостей (т.е. плоскости пересекаются по прямой).

Следствия:

• Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
• Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.
• Через две прямые плоскость можно провести не всегда. Две прямые, через которые нельзя провести плоскость, называются скрещивающимися.

Пример. Горизонтальная прямая, проведенная на одной стене комнаты, и вертикальная прямая, проведенная на противоположной стене, являются скрещивающимися.

Скрещивающиеся прямые не пересекаются друг с другом, сколько бы их ни продолжать, но их не называют параллельными.

Параллельными называются только такие две непересекающиеся прямые, через которые можно провести плоскость.

Различие между параллельными прямыми и скрещивающимися наглядно характеризуется тем, что две параллельные прямые имеют одно и то же направление, тогда как направления скрещивающихся прямых различны.

Все точки одной параллельной прямой находятся на одинаковом расстоянии от другой (расстояние измеряется по перпендикуляру), тогда как точки одной из скрещивающихся прямых находятся на различных расстояниях от другой.

Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется длина отрезка MN, соединяющего ближайшие друг к другу точки М и N (рис.1), лежащие на скрещивающихся прямых. Прямая MN перпендикулярна обеим скрещивающимся прямым.

Рис.1

Расстояние между параллельными прямыми определяется, как в планиметрии. Расстояние между пересекающимися прямыми считается равным нулю.

Две плоскости могут пересекаться (по прямой линии) или не пересекаться. Непересекающиеся плоскости называются параллельными.

Прямая и плоскость также либо пересекаются (в одной точке), либо не пересекаются; в последнем случае говорят, что прямая параллельна плоскости (или что плоскость параллельна прямой).

При решении задач на комбинацию тел вращения и многогранников необходимо помнить:

• Если шар описан около многогранника, то все его вершины лежат на поверхности шара.
• Если многогранник вписан в шар, то вокруг каждой из его граней можно описать окружность.
• Если шар вписан в многогранник (все грани касаются шара), то его центр равноудален от всех граней. Этот центр лежит на пересечении плоскостей, делящих двугранные углы многогранника пополам.