Теорема о сумме углов треугольника
Теорема 1. Сумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°.
Проведем через вершину В прямую а, параллельную стороне АС (рис.1).
Рис.1
Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых а и АС секущей АВ, а углы 3 и 5 — накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ВС. Поэтому
∠ 4 = ∠ 1, ∠ 5 = ∠ 3. (1)
Очевидно, сумма углов 4, 2 и 5 равна развернутому углу с вершиной В, т. е.
∠ 4 + ∠ 2 + ∠ 5 = 180°.
Отсюда, учитывая равенства (1), получаем:
∠ l + ∠ 2 + ∠ 3 = 180°, или ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°.
Теорема доказана.
Следствие 1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Следствие 2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45°.
Следствие 3. В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°.
Следствие 4. В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.
Следствие 5. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
Доказательство. Из равенств ∠ 4 + ∠ 3 = 180° и ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 180° (рис.2) получаем, что ∠ 4 = ∠ 1 + ∠ 2.
Рис.2
 |
Пример 1. Два угла треугольника равны 27° и 41°. Найти третий угол и определить вид треугольника.
Решение. Так как сумма двух углов треугольника равна 68°, то по теореме о сумме углов треугольника третий угол равен 180° - 68° = 112° и, значит, данный треугольник тупоугольный.
Пример 2. Какой вид имеет треугольник, в котором один угол равен сумме двух других углов?
Решение. Обозначим через х градусную меру того угла треугольника, который равен сумме двух других углов. Тогда, так как сумма углов треугольника равна 180°, то 2х = 180°, откуда х = 90°, т. е. треугольник прямоугольный.
Пример 3. Найти углы треугольника ABC, зная, что угол С на 15° больше, а угол В на 30° меньше угла А.
Решение. Обозначим градусную меру угла А через х, тогда градусная мера угла С равна х + 15°, а угол В = х - 30° (рис.3).
Рис.3
Так как сумма внутренних углов треугольника равна 180°, то получаем уравнение х + (х + 15°) + (х - 30°) = 180°.
Решая его, получаем х = 65°.
Таким образом, ∠ A = 65°, ∠ B = 35° и ∠ C = 80°.
Пример 4. В треугольнике ABC (рис.4) ∠ A = 60°, ∠ В = 80°.
Рис.4
Биссектриса AD этого треугольника отсекает от него треугольник ACD. Найти углы этого треугольника.
Решение. ∠ DAB = 30°, так как AD — биссектриса угла А, ∠ ADC = 30° + 80°= 110° как внешний угол треугольника ABD (следствие 5), ∠ С = 180° - (110° + 30°) = 40° по теореме о сумме углов треугольника ACD.
|