Площадь треугольника и ромба

Теорема 1. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Доказательство. Треугольник ABC (рис.1) дополним до параллелограмма ABCD (как указано на рис.1), площадь которого равна AB•h.

Но площадь S треугольника ABC составляет половину площади параллелограмма ABCD (ибо треугольники ABC и CDA равны), следовательно,

Следствие 1. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов (так как один катет можно взять за основание, другой — за высоту).

Следствие 2. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

---

---

Пример 1. Найти площадь равнобедренного прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 8 см.

Решение. Обозначив один из катетов данного треугольника через х, согласно теореме Пифагора будем иметь: $$ x^2 + x^2 = 64\text{, или }x^2 = 32 $$ откуда $\frac{x^2}{2} = 16$ и, значит, на основании следствия 1 искомая площадь равна 16 см².

---

Пример 2. В равнобедренном треугольнике основание равно 30 м, а высота, опущенная на основание, равна 20 м. Найти высоту, опущенную на боковую сторону.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2.

Тогда в треугольнике ABC основание АС = 30 м, высота BD = 20 м, следовательно, можно найти площадь этого треугольника: $$ S = \frac{1}{2}AC\bullet BD \\ S = \frac{20 \bullet 30}{2} $$ Площадь этого треугольника можно найти и по-другому: $S = \frac{1}{2} BC•AE$ , откуда $AE = \frac{2S}{BC}$ (ВС можно найти из прямоугольного треугольника ВВС по теореме Пифагора), или $$ AE = \frac{ 20 \bullet 30 }{ \sqrt{ 20^2 + \left ( \frac{30}{2} \right )^2 } } $$ , т.е. АЕ = 24 (м).

---

Пример 3. Вычислить площадь ромба, диагонали которого равны 6 см и 3,5 см.

Решение. Согласно следствию искомая площадь равна S = 6•3,5:2 = 10,5(см²).

---

Пример 4. Найти площадь ромба, если его высота 10 м, а острый угол 30°.

Решение. Пусть ABCD — ромб, где ∠ BAD = 30°, BE ⊥ AD и BE = 10 м (рис.3).

Из прямоугольного $\triangle АВЕ$ найдем АВ:
$BE = \frac{1}{2}АВ$ (как катет, лежащий против угла в 30°) и, значит, АВ = 2•ВЕ = 2 • 10 = 20 (м).

Так как АВ = AD, то площадь ромба S = BE•AD = 200 (м²).

---

---