Вписанная и описанная окружности

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Теорема 1. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.

Доказательство. Пусть ABC — данный треугольник, О — центр вписанной в него окружности, D, Е и F — точки касания окружности со сторонами (рис.1).

Прямоугольные треугольники AOD и АОЕ равны по гипотенузе и катету. У них гипотенуза АО общая, а катеты OD и ОЕ равны как радиусы. Из равенства треугольников следует равенство углов OAD и ОАЕ. А это значит, что точка О лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины А. Точно так же доказывается, что точка О лежит на двух других биссектрисах треугольника. Теорема доказана.

В случае описанной окружности имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (рис.2).

---

---

Пример 1. Найти радиус окружности r, вписанной в равносторонний треугольник ABC со стороной а.

Решение. В силу [свойства_равнобедренного_треугольника|теоремы 2] в равностороннем треугольнике каждая биссектриса является одновременно медианой и высотой. Поэтому центр О вписанной окружности лежит в точке пересечения медиан, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины (пример 5).

Из прямоугольного треугольника ACD (рис.3) согласно теореме Пифагора имеем: $$ AC^2 = AD^2 + CD^2\text{ , или }CD^2 = AC^2 - AD^2 \\ \text{, откуда } \\ CD^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4} \\ \text{ и, значит, } \\ CD^2 = \frac{ a\sqrt{3} }{2} \\ \text{ . Поэтому }r = \frac{a \sqrt{3} }{6} $$

---

Пример 2. В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 и 16 см. Вычислить радиус описанной окружности.

Решение. Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности совпадает с серединой гипотенузы, откуда радиус описанной окружности $R = \frac{1}{2} АВ$ (рис.4).

По теореме Пифагора $$ АВ^2 = АС^2 + СВ^2 \text{ или Рис.4 } \\ АВ^2 =16^2 + 12^2 = 400 \\ \text{ откуда }АВ = \sqrt{400} = 20\text{ и, значит, }R = 10\text{ (см).} $$

---

Пример 3. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равна 12. Окружность с центром вне этого треугольника имеет радиус 8 и касается продолжения боковых сторон треугольника ABC: BC и BA, а также касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Видео-решение.

---

---