Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия Следующая версия | Предыдущая версия Последняя версия Следующая версия справа и слева | ||
subjects:stroymeh:рамы_метод_сил [2013/08/05 23:06] ¶ |
subjects:stroymeh:рамы_метод_сил [2013/10/12 19:48] ¶ |
||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
====== Метод сил ====== | ====== Метод сил ====== | ||
+ | |||
+ | Видео урок :Метод сил . | ||
+ | <box>Видео урок : Метод сил:</box> | ||
+ | {{ :subjects:stroymeh:20130813_142031.jpg?nolink&500 |Просмотр воозможен только в режиме обучения}} | ||
+ | |||
+ | <box>Просмотр видео уроков воозможен только в режиме обучения</box> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
Основная идея метода сил очень проста и может быть рассмотрена на следующем примере. | Основная идея метода сил очень проста и может быть рассмотрена на следующем примере. | ||
{{ :subjects:stroymeh:суть_метода_сил.png?550 |}} | {{ :subjects:stroymeh:суть_метода_сил.png?550 |}} | ||
Строка 13: | Строка 24: | ||
===== Канонические уравнения метода сил ===== | ===== Канонические уравнения метода сил ===== | ||
- | Они справедливы не только для рам, но и для любых статически | + | Они справедливы не только для рам, но и для любых статически неопределимых стержневых систем. |
- | неопределимых стержневых систем. | ||
+ | Каждое из уравнений этой системы имеет геометрический смысл – оно выражает отсутствие перемещения в основной системе в направлении | ||
- | Каждое из уравнений этой системы имеет геометрический смысл – оно | ||
+ | отброшенной лишней связи. | ||
- | выражает отсутствие перемещения в основной системе в направлении | ||
+ | В качестве неизвестных выступают силы: $ X_{1},X_{2},...,X_{n}, $, откуда – название метода. | ||
- | отброшенной лишней связи. В качестве неизвестных выступают силы: X1, | ||
- | X2, X3, откуда – название метода. | + | Для n неизвестных систему канонических уравнений МС можно записать в следующем виде: |
+ | $$ \sum _{j=1}^{n}\delta _{ij}X_{j}+\Delta _{ip}^{0}=0, \left ( i=1,2,...,n \right ) $$ | ||
+ | $$ \delta _{ij}=\delta _{ji} $$ | ||
- | Для n неизвестных систему канонических уравнений МС можно записать в следующем виде: | ||
- | dij Xj + Dip0= 0; (i = 1,2,…, n). | ||
- | ij = ji . | + | Решив эту систему уравнений и определив неизвестные $ X_{1},X_{2},...,X_{n}, $ мы сведем дальнейший расчет СНС к расчету статически определимой |
- | Решив эту систему уравнений и определив неизвестные X1, X2, …, Xn, | ||
+ | основной системы, загруженной заданной нагрузкой и найденными реакциями дополнительных связей. | ||
- | мы сведем дальнейший расчет СНС к расчету статически определимой | ||
+ | **Пример 1** | ||
- | основной системы, загруженной заданной нагрузкой и найденными реакциями | ||
- | дополнительных связей. | + | Определить опорные реакции рамы (рис. а), полагая жесткость EJ |
- | Пример | + | постоянной. |
+ | {{ :subjects:stroymeh:расчет_методом_сил65.png?550 |}} | ||
+ | **Решение**. | ||
- | Определить опорные реакции рамы (рис. а), полагая жесткость EJ | ||
+ | 1) Определяем число лишних связей системы: Л = 3К – Ш = 3.1 – 1 = 2 | ||
+ | и выбираем основную систему, отбрасывая две линейные связи шарнира В и заменяя их неизвестными реакциями $ X_{1} $ и $ X_{2} $ (рис. б). | ||
- | постоянной. | + | Система канонических уравнений для данной системы примет вид: |
- | {{ :subjects:stroymeh:расчет_методом_сил65.png?550 |}} | + | $$ \delta _{11}X_{1}+\delta _{12}X_{2}+\Delta _{1p}^{0}=0 $$ |
+ | $$ \delta _{21}X_{1}+\delta _{22}X_{2}+\Delta _{2p}^{0}=0 $$ | ||
- | Решение. | + | |
+ | 2) Строим эпюры изгибающих моментов от единичных значений неизвестных и от заданной нагрузки в основной системе (рис. в-д). | ||
- | 1) Определяем число лишних связей системы: Л = 3К – Ш = 3.1 – 1 = 2 | + | 3) Вычисляем коэффициенты и свободные члены Система канонических уравнений |
+ | $$ \delta _{11}=\frac{8}{3EJ} $$ | ||
+ | $$ \delta _{12}=-\frac{4}{EI} $$ | ||
+ | $$ \delta _{22}=\frac{32}{3EI} $$ | ||
+ | $$ \Delta _{1p}^{0}=\frac{2}{EI} $$ | ||
+ | $$ \Delta _{2p}^{0}=-\frac{8}{3EI} $$ | ||
+ | |||
+ | 4) Решая систему канонических уравнений : | ||
+ | $$ \left ( \frac{8}{3} \right )X_{1}-4X_{2}=-2 $$ | ||
+ | $$ -4X_{1}+\left ( \frac{32}{3} \right )X_{2}=\frac{8}{3} $$ | ||
- | и выбираем основную систему, отбрасывая две линейные связи шарнира В | ||
- | и заменяя их неизвестными реакциями X1 и X2 (рис. б). | + | находим: |
+ | $$ X_{1}=-\frac{12}{14}kH $$ | ||
+ | $$ X_{2}=-\frac{1}{14}kH $$ | ||
+ | 5) Определяем опорные реакции основной системы от одновременного действия распределенной нагрузки и найденных неизвестных: | ||
+ | $$ \sum M_{A}=0 $$ | ||
+ | $$ \sum X=0 $$ | ||
+ | $$ \sum Y=0 $$ | ||
+ | $$ M_{A}=\frac{3}{7}kHм $$ | ||
+ | $$ X_{A}=-\frac{8}{7}kH $$ | ||
+ | $$ Y_{A}=\frac{2}{7}kH $$ | ||
+ | Одновременно эти реакции вместе с найденными ранее $ X_{1} $ и $ X_{2} $ дают ответ на вопрос, чему равны опорные реакции | ||
- | Система канонических уравнений (4.4) для данной системы примет вид: | ||
- | d11 X1 + d12 X2 + D1p0 = 0, (а) | + | заданной статически неопределимой рамы (рис. е): |
- | d21 X1 + d22 X2 + D2p0 = 0. | + | $$ M_{A}=\frac{3}{7}kHм $$ |
- | + | $$ X_{A}=-\frac{8}{7}kH $$ | |
- | 2) Строим эпюры изгибающих моментов от единичных значений неизвестных и | + | $$ Y_{A}=\frac{2}{7}kH $$ |
+ | $$ X_{B}=-\frac{6}{7}kH $$ | ||
+ | $$ X_{B}=-\frac{1}{14}kH $$ | ||
- | от заданной нагрузки в основной системе (рис. в-д). | + | ===== Построение эпюры внутренних усилий ===== |
+ | **Пример 2** | ||
- | 3) Вычисляем коэффициенты и свободные члены системы (а): | + | Построить эпюры внутренних усилий для заданной рамы (рис. а). |
- | d11 = 8/3EJ; | ||
- | d12 = 4/EJ; | ||
- | d22 = 32/3EJ; | ||
- | D1p0= 2/EJ; | ||
- | D2p0 = 8/3EJ. | ||
- | 4) Решая систему уравнений (а): | + | **Решение**. |
- | (8/3)X1 – 4X2 = 2; | ||
- | 4 X1 + (32/3) X2 = 8/3; | ||
- | находим: X1 = (12/14) кН; X2 = (1/14) кН. | ||
+ | 1) Находим изгибающие моменты по формуле: | ||
+ | $$ M_{p}=\bar{M_{1}^{0}}X_{1}+\bar{M_{2}^{0}}X_{2} $$ | ||
- | 5) Определяем опорные реакции основной системы от одновременного | ||
- | действия распределенной нагрузки и найденных неизвестных: | + | воспользовавшись найденными ранее значениями $ X_{1} $ и $ X_{2} $ – см. пример 1. |
- | MA = 0; MA = 3/7кНм; | ||
- | X = 0; XA = 8/7кН; | ||
- | Y = 0; YA = 2/7кН. | ||
- | Одновременно эти реакции вместе с найденными ранее X1 и X2 дают ответ на | ||
+ | На ригеле эта эпюра совпадает с эпюрой $ \bar{M_{1}^{0}}X_{1} $(рис. ж), поскольку на | ||
- | вопрос, чему равны опорные реакции заданной статически неопределимой | ||
- | рамы (рис. е): | + | этом участке эпюры $ \bar{M_{p}^{0}} $ и $ \bar{M_{2}^{0}} $ равны нулю. |
+ | Для построения $ M_{p} $ на стойке достаточно вычислить ее значения в 1-ом | ||
+ | |||
+ | |||
+ | узле (рис. и): | ||
+ | |||
+ | $$ M_{1}=2+\frac{1}{7}-\frac{12}{7}=\frac{3}{7}kHм $$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | 2) При построении эпюры на стойке будем, для определенности, считать | ||
+ | |||
+ | |||
+ | первый узел – левым, а второй – правым. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Тогда получим: | ||
+ | $$ Q_{12}=\frac{ql_{12}}{2}+\left ( M^{пр}-M^{лев} \ )\right/l_{12}=\left ( 1\cdot 2 \right )/2+\left ( -1/7-\left ( -3/7 \right ) \right )/2=1+1/7=8/7 $$ | ||
+ | $$ Q_{21}=\frac{ql_{12}}{2}+\left ( M^{пр}-M^{лев} )\right/l_{12}=-1+1/7=6/7 $$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | На ригеле местная нагрузка отсутствует, поэтому (рис. к): | ||
+ | $$ Q_{23}=Q_{32}=\left ( 1/7 \right )/2=1/14kH $$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | 3) Для построения эпюры Np достаточно рассмотреть равновесие 2-го узла | ||
+ | |||
+ | рамы: | ||
+ | $$ \sum X=0; N_{23}=-Q_{21}=-6/7kH $$ | ||
+ | $$ \sum Y=0; N_{21}=-Q_{23}=-1/14kH $$ | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Для проверки правильности построения эпюр можно рассмотреть равновесие | ||
+ | |||
+ | |||
+ | части рамы (рис. м), расположенной выше сечения, проведенного вблизи опор A и B – где известны значения всех трех эпюр: | ||
+ | $$ \sum X=2-6/7-8/7=0 $$ | ||
+ | $$ \sum Y=2/7-8/7=0 $$ | ||
+ | $$ \sum M_{A}=3/7-2\cdot 1+\left ( 6/7 \right )\cdot 2-\left ( 1/14 \right )\cdot 2=0 $$ | ||
+ | |||
- | MA = 3/7кНм; XA = 8/7кН; YA = 2/7кН; XB = 6/7кН; YB = 1/14кН. | ||
+ | ===== Рекомендуем ===== | ||
+ | |[[http://test.eduvdom.com/e/do/do.tests_prepare.php?type=learn&country_id=16®ion_id=72&city_id=370|{{media:obuchenie.png?200|Обучение: Строймех - Метод сил}}]]| |