Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:geometry:умножение_вектора_на_число

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:geometry:умножение_вектора_на_число [2013/07/27 00:46]
subjects:geometry:умножение_вектора_на_число [2013/10/12 02:09] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +<box right 30%|[[start]]>​
 +  * **[[Векторы - Геометрия]]**
 +    * [[Понятие вектора]]
 +    * [[Сложение и вычитание векторов]]
 +    * **Умножение вектора на число**
 +    * [[Координаты вектора]]
 +    * [[Скалярное произведение векторов]]
 +</​box>​
 +====== Умножение вектора на число ======
 +**''​Теорема 1.''​ Два вектора $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство $\overrightarrow{b} = \lambda\overrightarrow{a}$ . **
  
 +Умножение вектора на число обладает следующими основными свойствами.
 +
 +//''​Свойства.''​ Для любых чисел k, l и любых векторов $\overrightarrow{a}\,,​ \overrightarrow{b}$ справедливы следующие равенства://​
 +  - $(kl)\overrightarrow{a} = k(l\overrightarrow{a})$ {сочетательный закон). ​
 +  - $(k + l)\overrightarrow{a} = k\overrightarrow{a} + l\overrightarrow{a}$ {первыйраспределительный закон). ​
 +  - $k(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = k\overrightarrow{a} + k\overrightarrow{b}$ {второй распределительный закон). ​
 +
 +Рисунок 1 иллюстрирует сочетательный закон. На этом рисунке представлен случай,​ когда k = 2, l = 3.
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​oab_125.png?​200|иллюстрирует сочетательный закон. На этом рисунке представлен случай,​ когда k = 2, l = 3}}
 +</​box|Рис.1>​
 +
 +Рисунок 2 иллюстрирует первый распределительный закон. На этом рисунке представлен случай,​ когда k = 3, l = 2.
 +<box 400px>
 +{{:​subjects:​geometry:​o_ka_a_a_la_b_126.png?​380|иллюстрирует первый распределительный закон. На этом рисунке представлен случай,​ когда k = 3, l = 2}}
 +</​box|Рис.2>​
 +
 +''​Примечание.''​ Рассмотренные свойства действий над векторами позволяют в выражениях,​ содержащих суммы, разности векторов и произведения векторов на числа, выполнять преобразования по тем же правилам,​ что и в числовых выражениях. Например,​ выражение
 +$$ \overrightarrow{р} = 2(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) + (\overrightarrow{c} + \overrightarrow{a}) - 3(\overrightarrow{b} - \overrightarrow{c} + \overrightarrow{a}) $$
 +можно преобразовать так: ​
 +$$ \overrightarrow{р} = 2\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b} + 3\overrightarrow{c} - 3\overrightarrow{a} = - 5\overrightarrow{b} + 4\overrightarrow{c} $$
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +**Пример 1.** Коллинеарны ли векторы $2\overrightarrow{a} \,и\, -\overrightarrow{a}$ ?
 +
 +**//​Решение.//​** Имеем $2\overrightarrow{a} = -2(-\overrightarrow{a})$ . Значит,​ данные векторы коллинеарны.
 +
 +----
 +**Пример 2.** Дан треугольник ABC. Выразите через векторы $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{АВ} \,и\, \overrightarrow{b} = \overrightarrow{АС}$ следующие векторы:​ $а)\, \overrightarrow{ВА}\text{ ; б) }\overrightarrow{СВ}\text{ ; в) }\overrightarrow{СВ} + \overrightarrow{ВА}$ . 
 +
 +**//​Решение//​**
 +
 +а) Векторы $\overrightarrow{ВА} \,и\, \overrightarrow{АВ}$ — противоположные,​ поэтому $\overrightarrow{ВА} = -\overrightarrow{АВ}\text{ , или }\overrightarrow{ВА} = -\overrightarrow{a}$ . 
 +
 +б) По правилу треугольника $\overrightarrow{СВ} = \overrightarrow{СА} + \overrightarrow{АВ}$ . 
 +Но $\overrightarrow{СА} = -\overrightarrow{АС}$ , поэтому $\overrightarrow{СВ} = \overrightarrow{АВ} + (-\overrightarrow{АС}) = \overrightarrow{АВ} -\overrightarrow{АС} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ . 
 +
 +в) $\overrightarrow{СВ} + \overrightarrow{ВА} = \overrightarrow{СА} = -\overrightarrow{АС} = -\overrightarrow{b}$. ​
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +|[[Сложение и вычитание векторов|← ]][[Сложение и вычитание векторов]]^[[subjects:​geometry:​]]|[[Координаты вектора]][[Координаты вектора| →]]|
 +^Рекомендуем для обучения:​^^^
 +|[[Свойства равнобедренного треугольника|Свойства равнобедренного треугольника]]|||
subjects/geometry/умножение_вектора_на_число.txt · Последние изменения: 2013/10/12 02:09 —