Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:geometry:смежные_и_вертикальные_углы

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:geometry:смежные_и_вертикальные_углы [2013/10/12 01:43]
subjects:geometry:смежные_и_вертикальные_углы [2013/10/12 01:47] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +<box right 30%|[[start]]>​
 +  * **[[Отрезок,​ луч, угол]]**
 +    * [[Отрезок]]
 +    * [[Луч и полуплоскость]]
 +    * [[Угол]]
 +    * [[Измерение отрезков]]
 +    * [[Измерение углов]]
 +    * **Смежные и вертикальные углы**
 +  * [[Треугольники - Геометрия]]
 +</​box>​
 +====== Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые ======
 + 
 +Два угла называются смежными,​ если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.
  
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​сумма_смежных_углов_равна_180_.png?​200|Геометрия ГИА, Сумма смежных углов равна 180°}}
 +\\ Сумма смежных углов равна 180°
 +</​box|Рис.1>​
 +**''​Теорема 1.''​ Сумма смежных углов равна 180°.**
 +
 +''​Доказательство.''​ Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ** ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° **.
 +
 +Из теоремы 1 следует,​ что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
 +
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​вертикальные_углы_равны.png?​200|Геометрия ГИА, Вертикальные углы равны}}
 +\\ Вертикальные углы равны
 +</​box|Рис.2>​
 +Два угла называются вертикальными,​ если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых,​ являются вертикальными (рис. 2). 
 +
 +**''​Теорема 2.''​ Вертикальные углы равны.**
 +
 +''​Доказательство.''​ Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 
 +∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.
 +
 +Отсюда заключаем,​ что ∠ АОВ = ∠ COD.
 +
 +**''​Следствие 1.''​ Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.**
 +
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​прямые_ас_и_bd_перпендикулярные.png?​200|Геометрия ГИА, Прямые АС и BD перпендикулярные}}
 +\\ 
 +</​box|Рис.3>​
 +Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 — смежные,​ углы 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят,​ что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.
 +
 +Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая,​ перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.
 +
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​ан_перпендикуляр_к_прямой.png?​200|Геометрия ГИА, АН — перпендикуляр к прямой}}
 +\\ АН — перпендикуляр к прямой
 +</​box|Рис.4>​
 +Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром,​ проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.
 +
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​чертежный_угольник.png?​200|Геометрия ГИА, Чертежный угольник}}
 +\\ Чертежный угольник
 +</​box|Рис.5>​
 +Справедлива следующая теорема. ​
 +
 +**''​Теорема 3.''​ Из всякой точки, не лежащей на прямой,​ можно провести перпендикуляр к этой прямой,​ и притом только один.**
 +
 +Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).
 +
 +''​Замечание.''​ Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например,​ условие теоремы 2 — углы вертикальные;​ заключение — эти углы равны.
 +
 +Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если»,​ а заключение — словом «то». Например,​ теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные,​ то они равны». ​
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +**Пример 1.** Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой? ​
 +
 +**//​Решение.//​** Обозначим градусную меру другого угла через ''​x'',​ тогда согласно теореме 1.
 +\\ 44° + х = 180°. ​
 +\\ Решая полученное уравнение,​ находим,​ что х = 136°. Следовательно,​ другой угол равен 136°. ​
 +
 +----
 +**Пример 2.** Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС? ​
 +
 +**//​Решение.//​** Углы COD и АОВ вертикальные,​ следовательно,​ по теореме 1.2 они равны, т. е. ∠ АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит,​ по теореме 1.
 +\\ ∠ АОС = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°. ​
 +
 +----
 +**Пример 3.** Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого. ​
 +
 +**//​Решение.//​** Обозначим градусную меру меньшего угла через ''​х''​. Тогда градусная мера большего угла будет ''​Зх''​. Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, ​ откуда х = 45°. 
 +\\ Значит,​ смежные углы равны 45° и 135°. ​
 +
 +----
 +**Пример 4.** Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов. ​
 +
 +**//​Решение.//​** Пусть условию задачи отвечает рисунок 2. Вертикальные углы COD к АОВ равны (теорема 2), значит,​ равны и их градусные меры. Поэтому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол ​
 +АОС) смежный с углом COD, и, значит,​ по теореме 1
 +\\ ∠ BOD = ∠ АОС = 180° - 50° = 130°. ​
 +
 +====== Отыскание смежных углов треугольника. Пример 5 ======
 +В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°.
 +
 +Найдите величину угла ABC . Ответ дайте в градусах.
 +
 +{{ youtube>​JP-5AvwSJhA?​medium |Отыскание смежных углов треугольника.}}
 +
 +
 +====== Рекомендуем ======
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +|[[Измерение углов|← ]][[Измерение углов]]^[[subjects:​geometry:​]]|[[Треугольник и его элементы]][[Треугольник и его элементы| →]]|
subjects/geometry/смежные_и_вертикальные_углы.txt · Последние изменения: 2013/10/12 01:47 —