Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:geometry:скалярное_произведение_векторов

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:geometry:скалярное_произведение_векторов [2013/07/27 00:48]
subjects:geometry:скалярное_произведение_векторов [2013/10/12 02:10] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +<box right 30%|[[start]]>​
 +  * **[[Векторы - Геометрия]]**
 +    * [[Понятие вектора]]
 +    * [[Сложение и вычитание векторов]]
 +    * [[Умножение вектора на число]]
 +    * [[Координаты вектора]]
 +    * **Скалярное произведение векторов**
 +  * [[Подобие - Геометрия]]
 +</​box>​
 +====== Скалярное произведение векторов ======
 +//​Скалярным произведением векторов $\overrightarrow{a}\{x_1;​ y_1\} \,и\, \overrightarrow{b}\{х_2;​ у_2\}$// (обозначается $ \overrightarrow{a}\overrightarrow{b} $ ) называется число $x_1x_2 + y_1y_2$ . Скалярное произведение $\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}$ обозначается $\overrightarrow{a}^2$. Очевидно,​ $\overrightarrow{a}^2 = |\overrightarrow{a}|^2$ .
  
 +Из определения скалярного произведения векторов следует,​ что для любых векторов $\overrightarrow{a}\{х_1;​ y_1\}\,, \overrightarrow{b}\{х_2;​ у_2\}\,, \overrightarrow{c}\{х_3;​ у_3\}$
 +$$ (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}\overrightarrow{c} + \overrightarrow{b}\overrightarrow{c} $$
 +Действительно,​ левая часть равенства есть $(х_1 + х_2)х_3 + (у_1 + у_2)у_3$ , а правая $х_1х_3 + у_1у_3 + х_2х_3 + у_2у_3$ . Очевидно,​ они равны.
 +
 +//​Углом//​ между ненулевыми векторами $\overrightarrow{АВ} \,и\, \overrightarrow{АС}$ называется угол BAC (рис.1).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​bac_129.png?​200|Подготовка по математике и геометрии онлайн репетитор}}
 +</​box|Рис.1>​
 +Углом между любыми двумя ненулевыми векторами $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.
 +
 +**''​Теорема 1.''​ Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.**
 +
 +Из этой теоремы получаем следствия.
 +  - ''​Следствие 1. **Если векторы перпендикулярны,​ то их скалярное произведение равно нулю.**''​
 +  - ''​Следствие 2. **Если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.**''​
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +**Пример 1.** Даны векторы $\overrightarrow{a}\{1;​ 0\} \,и\, \overrightarrow{b}\{1;​ 1\}$ . Найти такое число $\lambda$ , чтобы вектор $\overrightarrow{a} + \lambda\overrightarrow{b}$ был перпендикулярен вектору $\overrightarrow{a}$ . 
 +
 +**//​Решение.//​** Имеем: $ \overrightarrow{a}(\overrightarrow{a} + \lambda\overrightarrow{b}) = 0\,; \overrightarrow{a}^2 + \lambda(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}) = 0$ . Отсюда $ \lambda = - \frac{\overrightarrow{a}^2}{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}} = - \frac{1}{1} = -1  $
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +|[[Координаты вектора|← ]][[Координаты вектора]]^[[subjects:​geometry:​]]|[[Определение подобных треугольников]][[Определение подобных треугольников| →]]|
 +^Рекомендуем для обучения:​^^^
 +|[[subjects:​stereometry:​Векторы в пространстве]]|^[[subjects:​stereometry:​]]|
subjects/geometry/скалярное_произведение_векторов.txt · Последние изменения: 2013/10/12 02:10 —