Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:geometry:расстояние_между_точками

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:geometry:расстояние_между_точками [2013/07/27 00:41]
subjects:geometry:расстояние_между_точками [2013/10/12 02:07] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +<box right 30%|[[start]]>​
 +  * **[[Прямоугольные координаты]]**
 +    * [[Координатная ось]]
 +    * [[Прямоугольная система координат 2D]]
 +    * **Расстояние между точками**
 +    * [[Координаты середины отрезка]]
 +    * [[Опр.тригонометрических функций угла от 0 до 180°]]
 +</​box>​
 +====== Расстояние между точками ======
 + 
 +Пусть на плоскости хОу даны две точки: А<​sub>​1</​sub>​ с координатами х<​sub>​1</​sub>,​ у<​sub>​1</​sub>​ и А<​sub>​2</​sub>​ с координатами х<​sub>​2</​sub>,​ у<​sub>​2</​sub>​. Выразим расстояние между точками А<​sub>​1</​sub>​ и А<​sub>​2</​sub>​ через координаты этих точек.
  
 +Рассмотрим сначала случай,​ когда х<​sub>​1</​sub>​ ≠ х<​sub>​2</​sub>​ и у<​sub>​1</​sub>​ ≠ у<​sub>​2</​sub>​. Проведем через точки А<​sub>​1</​sub>​ и А<​sub>​2</​sub>​ прямые,​ параллельные осям координат,​ и обозначим ​
 +точку их пересечения буквой А (рис. 1).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​oy1y2ya1a2xx2x1a_115.png?​200|Геометрия ГИА и ЕГЭ репетитор онлайн курсы}}
 +</​box|Рис.1>​
 +Расстояние между точками А и А<​sub>​1</​sub>​ равно |y<​sub>​1</​sub>​ - у<​sub>​2</​sub>​|,​ а расстояние между точками А и А<​sub>​2</​sub>​ равно |х<​sub>​1</​sub>​ - х<​sub>​2</​sub>​|. Применяя к прямоугольному треугольнику АА<​sub>​1</​sub>​А<​sub>​2</​sub>​ теорему Пифагора,​ получим:​
 +$$ А_1А_2^2 = АА_1^2 + АА_2^2 \,\text{, откуда }\,
 +\\ d = sqrt{ (x_1 - x_2}^2 + (y_1 - y_2)^2 \,\,\,(1)
 +$$
 +, где d — расстояние между точками А<​sub>​1</​sub>​ и А<​sub>​2</​sub>​.
 +
 +Хотя формула (1) для расстояния между точками выведена нами в предположении х<​sub>​1</​sub>​ ≠ х<​sub>​2</​sub>,​ y<​sub>​1</​sub>​ ≠ y<​sub>​2</​sub>,​ она остается верной и в других случаях. Действительно,​ если <​sub>​1</​sub>​ = х<​sub>​2</​sub>,​ у<​sub>​1<​sub>​ ≠ у<​sub>​2</​sub>,​ то //d// равно |у<​sub>​1</​sub>​ - y<​sub>​2</​sub>​|. Тот же результат дает и формула (1). Аналогично рассматривается случай,​ когда x<​sub>​1</​sub>​ ≠ x<​sub>​2</​sub>,​ y<​sub>​1</​sub>​ = y<​sub>​2</​sub>​. При x<​sub>​1</​sub>​ = x<​sub>​2</​sub>,​ y<​sub>​1</​sub>​ = y<​sub>​2</​sub>​ точки А<​sub>​1</​sub>​ и А<​sub>​2</​sub>​ совпадают и формула (1) дает //d = 0// .
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +**Пример 1.** Найти расстояние между точками А(-1; -2) и В(-4; 2).
 +
 +**//​Решение.//​** По формуле (1) имеем: ​
 +$$ d = AB = \sqrt{(-4 + 1)^2 +(2 + 2)^2 } = \sqrt{ 9 + 16 } = \sqrt{25} = 5 \,\,. $$
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +|[[Прямоугольная система координат 2D|← ]][[Прямоугольная система координат 2D]]^[[subjects:​geometry:​]]|[[Координаты середины отрезка]][[Координаты середины отрезка| →]]|
subjects/geometry/расстояние_между_точками.txt · Последние изменения: 2013/10/12 02:07 —