Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:geometry:пропорциональные_отрезки

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:geometry:пропорциональные_отрезки [2013/07/27 00:08]
subjects:geometry:пропорциональные_отрезки [2013/10/12 02:03] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +<box right 30%|[[start]]>​
 +  * **[[Четырехугольники - Геометрия]]**
 +    * [[Определение четырехугольника]]
 +    * [[Параллелограмм]]
 +    * [[Диагонали параллелограмма]]
 +    * [[Прямоугольник]]
 +    * [[Ромб]]
 +    * [[Квадрат]]
 +    * [[Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника]]
 +    * [[Трапеция]]
 +    * [[Центральная и осевая симметрии]]
 +    * **Пропорциональные отрезки**
 +  * [[Теорема Пифагора - Геометрия]]
 +</​box>​
 +====== Пропорциональные отрезки ======
 +Отношением отрезков АВ и CD называется отношение их длин, т.е. $\frac{AB}{CD}$ . Говорят,​ что отрезки АВ и CD пропорциональны отрезкам А<​sub>​1</​sub>​В<​sub>​1</​sub>​ и C<​sub>​1</​sub>​D<​sub>​1</​sub>​ если
 +$$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{CD}{C_1D_1} $$
 +Например,​ отрезки АВ и CD, длины которых равны 2 см и 1 см, пропорциональны отрезкам А<​sub>​1</​sub>​В<​sub>​1</​sub>​ и C<​sub>​1</​sub>​D<​sub>​1</​sub>​ , длины  ​
 +которых равны 3 см и 1,5 см. В самом деле, ​
 +$$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{CD}{C_1D_1} = \frac{2}{3} $$
 +Понятие пропорциональности вводится и для большего числа отрезков. Так, например,​ три отрезка АВ, CD и EF пропорциональны трем отрезкам А<​sub>​1</​sub>​В<​sub>​1</​sub>​ , C<​sub>​1</​sub>​D<​sub>​1</​sub>​ и E<​sub>​1</​sub>​F<​sub>​1</​sub>​ если
 +$$ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{CD}{C_1D_1} = \frac{EF}{E_1F_1} $$
  
 +**''​Теорема 1.''​ Параллельные прямые,​ пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.**
 +
 +''​Доказательство.''​ Пусть стороны угла А пересекаются параллельными прямыми в точках В, С и В<​sub>​1</​sub>,​ С<​sub>​1</​sub>​ соответственно (рис.1).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​ab1bcc1_104.png?​200|}}
 +</​box|Рис.1>​
 +
 +Теоремой утверждается,​ что
 +$$ \frac{AC_1}{AC} = \frac{AB_1}{AB} \ \ \ (1)$$
 +Пусть существует такой отрезок длины ε, который укладывается целое число раз и на отрезке АС, и на отрезке АС<​sub>​1</​sub>​.
 +\\ Пусть
 +$$ АС = n\varepsilon \ , \ АС_1 = m\varepsilon \ (n > m) . \ \ \ (2)$$
 +
 +Разобьем отрезок АС на п равных частей (длины ε). При этом точка С<​sub>​1</​sub>​ будет одной из точек деления. Проведем через точки деления прямые,​ параллельные прямой ВС. По [[Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника|теореме Фалеса]] эти прямые разбивают отрезок АВ на равные отрезки некоторой длины ε<​sub>​1</​sub>​. Имеем:
 +$$ AB = n\varepsilon _1 \ , \  AB_1 = n\varepsilon _1 $$
 +Отсюда и из (2)
 +$$ \frac{AB_1}{AB} = \frac{m}{n} \ и \ \frac{AC_1}{AC} = \frac{m}{n} $$
 +Значит, ​
 +$$ \frac{AB_1}{AB} = \frac{AC_1}{AC} $$
 +Однако не для любых отрезков АС и АС существует такой отрезок ε, который в каждом из отрезков АС и АС<​sub>​1</​sub>​ укладывается целое число раз без остатка. Но и в этом случае можно доказать,​ что равенство (1) выполняется. Теорема доказана.
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +**Пример 1.** Даны отрезки //a, b, c//. Построить отрезок ​
 +$$ x = \frac{bc}{a} $$
 +
 +**//​Решение.//​** Строим любой неразвернутый угол с вершиной О (рис.2).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​oa-ob--oc-od_od--ob_oc-oa_105.png?​200|Строим любой неразвернутый угол с вершиной О}}
 +</​box|Рис.2>​
 +
 +Откладываем на одной стороне угла отрезки ОА = //а// и ОВ = //b// , а на другой стороне отрезок ОС = //с//.
 +Соединяем точки А и С прямой и проводим параллельную ей прямую BD через точку В. Отрезок OD = //х//.
 +
 +Действительно,​ по теореме о пропорциональных отрезках
 +$$ \frac{OA}{OB} = \frac{OC}{OD} \ , \ \ откуда \ \ OD = \frac{OB*OC}{OA} = \frac{bc}{a} $$
 +
 +''​Примечание.''​ Построенный отрезок х называется четвертым пропорциональным. Такое название связано с тем, что он является четвертым членом пропорции а : b = с : х. 
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +|[[Центральная и осевая симметрии|← ]][[Центральная и осевая симметрии]]^[[subjects:​geometry:​]]|[[Тригонометрические функции острого угла]][[Тригонометрические функции острого угла| →]]|
 +^Рекомендуем для обучения:​^^^
 +|[[Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника|Теорема Фалеса]]|||
subjects/geometry/пропорциональные_отрезки.txt · Последние изменения: 2013/10/12 02:03 —