Теорема 1. ( Об эквивалентности пар на плоскости ).
Две пары,
лежащие в одной плоскости и имеющие равные по величине и по знаку моменты,
эквивалентны.
Для доказательства рассмотрим две пары $(\vec{P}, \vec{P'})\text{ и }(\vec{F}, \vec{F'})$, лежащие в одной плоскости и имеющие равные по величине и по знаку моменты (Рис.1).
Продолжим линии действия сил пар до их пересечения в точках С и С'.
На основании следствия из аксиомы 3 действие сил $\vec{P}\text{ и }\vec{P'}$ не изменится, если эти силы перенести в эти точки, то есть $(\vec{P}, \vec{P'}) \sim (\vec{P_1}, \vec{P_1'})$.
Воспользовавшись аксиомой 4, заменим силу $\vec{P_1}$ составляющими $\vec{S}\text{ и }\vec{T}$, направленными, соответственно, вдоль линии действия силы $\vec{F}$, и по прямой СС'. Аналогично поступим с силой $\vec{Р1'}$, заменив ее составляющими $\vec{S'}\text{ и }\vec{T'}$.
По построению $\vec{T} = - \vec{T'}$, поэтому согласно аксиоме 2: $(\vec{T}, \vec{T'}) \sim 0$ и в соответствии с аксиомой 3 эту систему можно исключить.
Таким образом,
$$(\vec{P}, \vec{P'}) \sim (\vec{P_1}, \vec{P_1'}) \sim ((\vec{S}, \vec{T}),(\vec{S'}, \vec{T'})) \sim ((\vec{S}, \vec{S'}),(\vec{T}, \vec{T'})) \sim (\vec{S}, \vec{S'})$$,
, то есть пары сил $(\vec{P}, \vec{P'})\text{ и }(\vec{S}, \vec{S'})$ эквивалентны.
Остается доказать эквивалентность пар $(\vec{S}, \vec{S'})\text{ и }(\vec{F}, \vec{F'}). Поскольку эти пары имеют равные плечи, они будут эквивалентны, если будут равны их моменты.
По условию теоремы моменты пар $(\vec{P}, \vec{P'})\text{ и }(\vec{F}, \vec{F'})$ равны. Таким образом:
$$M(\vec{F}, \vec{F'}) = M(\vec{P}, \vec{P'}) = M(\vec{P_1}, \vec{P_1'}) = M_C(\vec{P_1})$$
В силу теоремы Вариньона:
$$M_C(\vec{P_1}) = M_C(\vec{S}) + M_C(\vec{T}) = M_C(\vec{S})$$
, поскольку линия действия силы $\vec{T}$ проходит через точку С и ее момент равен нулю. Итак:
$$M(\vec{F}, \vec{F'}) = M_C(\vec{S}) = M(\vec{S}, \vec{S'})$$
, а значит пары $(\vec{S}, \vec{S'})\text{ и }(\vec{F}, \vec{F'})$ будут эквивалентны.
Таким образом: $(\vec{P}, \vec{P'}) \sim (\vec{S}, \vec{S'}) \sim (\vec{F}, \vec{F'}), и теорема доказана
.
Рассмотрим следствия этой теоремы, которые также можно рассматривать как свойства пар сил в дополнение к свойствам, рассмотренным в «Пара сил и ее свойства».
Следствия:
Рассмотрим в частности пару, представленную силами $\pm P=\frac{M}{2\varepsilon}$ , приложенными к балке в точках $x=x_M\pm\varepsilon$ (Рис.2а). Плечо такой пары, равно $2\varepsilon$ , а ее момент равен M. При изменении ( будут меняться плечо и силы пары, но величина ее момента останется равной первоначальному значению.
Определение 1.
Моментом называется система, полученная из пары сил $\pm P=\frac{M}{2\varepsilon}$ , при $\varepsilon\to 0$.
Таким образом, термин «момент» имеет в ТМ два значения:
Отметим, что при таком предельном переходе плечо пары стремится к нулю, а силы пары – к бесконечности. Полученный в соответствии с определением 1 момент фактически является таким же самостоятельным объектом в механике, как и сила, и в дальнейшем мы будем обозначать его так, как показано на рис.2б.
Если для абсолютно твердого тела последний момент эквивалентен паре
сил, показанной на рис.2а , то в механике деформируемого тела
действие
такого сосредоточенного момента
, приложенного в точке х=хМ
, существенно
отличается от действия пары сил.
Теорема 2. ( Об эквивалентности пар в пространстве ).
Две пары,
лежащие в параллельных плоскостях и имеющие равные по величине и по знаку
моменты, эквивалентны.
Для доказательства этой теоремы нам понадобится следующая:
Лемма.
Равнодействующая двух параллельных и равных по модулю сил
равна их сумме, а ее линия действия проходит посредине между точками их
приложения (Рис.3
).
Для доказательства леммы достаточно к системе двух сил $(\vec{P_1}, \vec{P_2})$ , приложенных соответственно в точках A и B, о которых идет речь в теореме, добавить уравновешенную систему сил $(\vec{T_1},\vec{T_2})$ , а затем воспользоваться аксиомой параллелограмма:
$$(\vec{P_1}, \vec{P_2}) \sim ((\vec{P_1}, \vec{P_2}), (\vec{T_1}, \vec{T_2})) \sim ((\vec{P_1}, \vec{T_1}), (\vec{P_2}, \vec{T_2})) \sim (\vec{R_1}, \vec{R_2}) \sim (\vec{R_{12}})$$
, где $\vec{P_1} = \vec{P_2} = \vec{P},\,\, \vec{R_{12}} = 2\cdot P$ , а AС = BC .
Переходя к доказательству теоремы, рассмотрим две пары сил $(\vec{P_1}, \vec{P_2})\text{ и }(\vec{F_1}, \vec{F_2})$, имеющие равные моменты и лежащие в параллельных плоскостях П1 и П2 соответственно (Рис.4).
Построим в плоскости П2 отрезок CD, равный и параллельный отрезку АВ и приложим в точках C и D две системы уравновешенных сил: $(\vec{S_1}, \vec{S_2}) \sim 0\text{ и }(\vec{T_1}, \vec{T_2}) \sim 0$ , выбрав силы $\vec{S}$ и $\vec{T}$ равными по модулю и параллельными силам $\vec{P}$.
На основании аксиом 2, 3 и последней леммы:
$$ (\vec{P_1}, \vec{P_2}) \sim ((\vec{P_1}, \vec{P_2}), (\vec{S_1}, \vec{S_2}), (\vec{T_1}, \vec{T_2})) \sim ((\vec{P_1}, \vec{T_1}), (\vec{P_2}, \vec{S_2}), (\vec{S_1}, \vec{T_2})) \sim \\ \sim ((\vec{R_1}, \vec{R_2}), (\vec{S_1}, \vec{T_2})) \sim (\vec{S_1}, T_2) $$
, поскольку $\vec{R_1} \sim (\vec{P_1}, \vec{T_1})$ и $\vec{R_2} \sim (\vec{P_2}, \vec{S_2})$ также образуют уравновешенную систему сил, которую можно исключить.
Таким образом, мы получили две пары сил: $(\vec{S_1}, \vec{T_2})$ и $(\vec{F_1}, \vec{F_2})$ , которые лежат в одной плоскости и имеют равные по величине и по знаку моменты. В силу предыдущей теоремы 1 они будут эквивалентны, откуда следует, что
$$(\vec{P_1}, \vec{P_2}) \sim (\vec{S_1}, \vec{T_2}) \sim (\vec{F_1}, F_2)$$
Теорема доказана.
Следствие.
Действие пары сил на ТТ не изменится при ее перемещении в
параллельную плоскость, расположенную в пределах этого тела.
свободным
.