Общий подход к нахождению множества значений непрерывной функции f(x) заключается в нахождении наибольшего и наименьшего значения функции f(x) в области ее определения (или в доказательстве того, что одно из них или оба не существуют).
В случае, если нужно найти множества значений функции на отрезке:
найти производную данной функции f '(x);
найти критические точки функции f(x) и выбрать те из них, которые принадлежат данному отрезку;
вычислить значения функции на концах отрезка и в выбранных критических точках;
среди найденных значений выбрать наименьшее и наибольшее значения;
Множество значений функции заключить между этими значениями.
Если областью определения функции является интервал, то используется та же схема, но вместо значений на концах используются пределы функции при стремлении аргумента к концам интервала. Значения пределов из не входят в множество значений.
Для нахождения множества значений функции сначала находят множество значений аргумента, а затем отыскивают соответствующие наименьше и наибольшее значения функции функции. Используя неравенства - определяют границы.
Суть состоит в оценке непрерывной функции снизу и сверху и в доказательстве достижения функцией нижней и верхней границы оценок. При этом совпадение множества значений функции с промежутком от нижней границы оценки до верхней обуславливается непрерывностью функции и отсутствием у неё других значений.
$f(x)=\sqrt{9-x^{2}}$
Находим область определения: D(f)=[-3;3], т.к. $9-x^{2}\geq 0$
Находим производную: $f'(x)=-\frac{x}{\sqrt{9-x^{2}}}$
f'(x) = 0, если x = 0. f'(x) не существует, если $\sqrt{9-x^{2}}=0$ то есть при x = ±3. Получаем три критические точки: x1 = –3, x2 = 0, x3 = 3, две из которых совпадают с концами отрезка. Вычислим: f(–3) = 0, f(0) = 3, f(3) = 0. Таким образом, наименьшее значение f(x) равно 0, наибольшее значение равно 3.
Ответ: E(f) = [0; 3].
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
$f(x)=\sin^{2}{x}+\cos{x}-\frac{1}{2}$
Так как $
f(x) = 1-\cos^{2}{x}+\cos{x}-\frac{1}{2} =
= 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-(\cos^{2}{x}-2\cdot\cos{x}\cdot\frac{1}{2}+(\frac{1}{2})^2) =
= \frac{3}{4}-(\cos{x}-\frac{1}{2})^{2}
$
, то:
$f(x)\leq \frac{3}{4}$ при всех x;
$f(x)\geq \frac{3}{4}-(\frac{3}{2})^{2}=-\frac{3}{2}$ при всех x(ибо $|\cos{x}|\leq 1$);
$f(\frac{\pi}{3})= \frac{3}{4}-(\cos{\frac{\pi}{3}}-\frac{1}{2})^{2}=\frac{3}{4}$;
$f(\pi)= \frac{3}{4}-(\cos{\pi}-\frac{1}{2})^{2}=-\frac{3}{2}$;
Ответ: $\frac{3}{4}$ и $-\frac{3}{2}$
Если решать эту задачу с помощью производных, то потребуется преодолевать препятствия, связанные с тем, что функция f(x) определена не на отрезке, а на всей числовой прямой.
$y=5-4\sin{x}$
Из определения синуса следует, $-1\leq\sin{x}\leq 1$. Далее воспользуемся свойствами числовых неравенств.
$-4\leq - 4\sin{x}\leq 4$, (умножили все три части двойного неравенства на -4);
$1\leq 5 - 4\sin{x}\leq 9$ (прибавили к трем частям двойного неравенства 5);
Так как данная функция непрерывна на всей области определения, то множество ее значений заключено между наименьшим и наибольшим ее значением на всей области определения, если таковые существуют.
В данном случае множество значений функции $y = 5 - 4\sin{x}$ есть множество [1; 9].
$y=\cos{7x}+5\cos{x}$
Из неравенств
$$ \\
-1\leq\cos{7x}\leq 1
\\
-5\leq 5\cos{x}\leq 5
$$
получим оценку
$$\\ -6\leq y\leq 6$$
При x = р и x = 0 функция принимает значения -6 и 6, т.е. достигает нижней и верхней границы оценки. Как линейная комбинация непрерывных функций cos(7x) и cos(x), функция y непрерывна на всей числовой оси, поэтому по свойству непрерывной функции она принимает все значения с -6 до 6 включительно, и только их, так как в силу неравенств $-6\leq y\leq 6$ другие значения у неё невозможны.
Следовательно, E(y) = [-6;6].
$f(x)=1+2\sin^{2}{x}$
$$
\\ -1\leq\sin{x}\leq 1
\\ 0\leq\sin^{2}{x}\leq 1
\\ 0\leq2\sin^{2}{x}\leq 2
\\ 1\leq1+2\sin^{2}{x}\leq 3
$$
Ответ: E(f) = [1; 3].
$f(x)=3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x}$
$$
\\ -\infty < {\rm tg}\, x < +\infty
\\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty
\\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty
\\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty
\\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8
\\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5
$$
Ответ: E(f) = (–∞; -5].
$f(x)=2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}}$
$$
\\ -\infty < \lg{x} < +\infty
\\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty
\\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0
\\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16
\\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4
\\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6
$$
Ответ: E(f) = [2; 6].
$f(x)=\sqrt{2-x}+\sqrt{2+x}$
Найдём f2(x):
$$\\ f^{2}(x)=4+2\sqrt{4-x^{2}}$$
Проведя рассуждения, аналогичные приведенным выше, получим, что E(f2) = [4; 8].
Тогда $E(f) = [2;2\sqrt{2}]$ (здесь учтено, что f > 0).
Ответ: $E(f) = [2;2\sqrt{2}]$
$y=\sin{x}+\cos{x}$
Преобразуем выражение
$$ \\
\sin{x} + \cos{x} = \sin{x} + \sin(\frac{\pi}{2} - x) =
\\
2\sin\left ({\frac{x + \frac{\pi}{2} - x}{2}} \right )\cos\left ({\frac{x + \frac{\pi}{2} + x}{2}} \right )
\\
= 2\sin(\frac{\pi}{4})cos(x +\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}cos(x +\frac{\pi}{4})
$$.
Из определения косинуса следует
$$ \\
-1\leq\cos{x}\leq 1;
\\
-1\leq \cos{(x + \frac{\pi}{4})}\leq 1;
\\
-\sqrt{2}\leq \sqrt{2}\cos{(x +\frac{\pi}{4})}\leq\sqrt{2};
$$
Так какданная функция непрерывна на всей области определения, то множество ее значений заключено между наименьшим и наибольшим ее значением, если таковые существуют, множество значений функции $y =\sqrt{2}\cos({x +\frac{\pi}{4}})$ есть множество $[-\sqrt{2};\sqrt{2}]$.
Множество значений функции $y = \sin{x} + \cos{x}$ есть множество чисел $[-\sqrt{2};\sqrt{2}]$.
$y=\log_{0,5}{(4-2\cdot 3^{x}-9^{x})}$
Решим этот пример методом последовательного нахождения значений сложных аргументов функции. Выделив полный квадрат под логарифмом, преобразуем функцию
$$\\
y = \log_{0,5}{(5 – (1 + 2·3^{x} – 3^{2x}))} =
\\
= \log_{0,5}{(5 – (3^{x} + 1)^{2})}
$$
И последовательно найдём множества значений её сложных аргументов:
$$\\ E(3^{x}) = (0;+∞), \\
E(3^{x}+ 1) = (1;+∞), \\
E(-(3^{x}+ 1)^{2} = (-∞;-1), \\
E(5 – (3^{x}+1)^{2}) = (-∞;4)
$$
Обозначим $t = 5 – (3^{x}+1)^{2}$, где -∞≤t≤4. Тем самым задача сводится к нахождению множества значений функции $y = \log_{0,5}{t}$ на луче (-∞;4). Так как функция $y = \log_{0,5}{t}$ определена лишь при t > 0 , то её множество значений на луче (-∞;4) совпадает со множеством значений функции на интервале (0;4), представляющем собой пересечение луча (-∞;4) с областью определения (0;+∞) логарифмической функции. На интервале (0;4) эта функция непрерывна и убывает. При t > 0 она стремится к +∞, а при t = 4 принимает значение -2, поэтому E(y) = (-2, +∞).
$y=\sqrt{25-x^{2}}$
Используем прием, основанный на графическом изображении функции.
После преобразований функции, имеем: y2 + x2 = 25, причем y ≥ 0, |x| ≤ 5.
Следует напомнить, что $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ - уравнение окружности радиуса r.
При этих ограничениях графиком данного уравнения является верхняя полуокружность с центром в начале координат и радиусом, равным 5. Очевидно, что E(y) = [0; 5].
Ответ: E(y) = [0; 5].