Метод рационализации

Метод рационализации позволяет перейти от неравенства, содержащего сложные показательные, логарифмические и т.п. выражения, к равносильному ему более простому рациональному неравенству.

Равносильными или эквивалентными называются уравнения (неравенства), множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения (неравенства), которые не имеют корней.

Большие проблемы обычно связаны с решением неравенств с переменной в основании логарифма. Для их решения можно рассмотреть два разных метода решения. Один из них традиционный, а другой – с использованием свойств монотонных функций, вытекающих из определений возрастающей и убывающей функций. Этот метод носит название метода рационализации. Его можно использовать не только в случае, когда в основании логарифма есть переменная величина, но и в других важных случаях. Точнее этот метод связан, в первую очередь, с монотонностью функций. Он заключается в том, что показательное, логарифмическое или другое неравенство, содержащее монотонную функцию, быстро сводится к рациональному неравенству.

Дело в том, что для возрастающей функции разность двух ее значений имеет тот же знак, что и разность соответствующих значений ее аргумента. Для убывающей функции разность двух ее значений имеет противоположный знак по сравнению со знаком разности соответствующих значений ее аргумента.

Метод рационализации в показательных неравенствах

Решим неравенство $3^{x^2+3x-4}<3^{5-x}$.

Решение исходного неравенства равносильно решению неравенства $$ (3-1)(x^2+3x-4-(5-x))<0. \\ x^2+4x-9< 0; \\ (x-(-2-\sqrt{13}))(x-(-2+\sqrt{13}))<0; \\ x\in (-2-\sqrt{13};-2+\sqrt{13}); $$

Ответ: $(-2-\sqrt{13};-2+\sqrt{13})$.

Метод рационализации в логарифмических неравенствах

Запишем неравенство $\log_{x+7}{(3x+18)}\leq\log_{x+7}{(x+5)}$ в виде равносильной системы рациональных неравенств. $$ \left\{\begin{matrix} x+7>0 \\ x+7\neq 1 \\ 3x+18>0 \\ x+5>0 \\ ((x+7)-1)( (3x+18)-(x+5) )\leq 0 \end{matrix}\right. $$ Первые четыре – взяты из области определения неравенства.

Приёмы рационализации

Логарифмы
$$\log_{h}{f}\vee\log_{h}{g}$$	$$(h-1)(f-g)\vee 0$$
$$\log_{h}{f}\vee 1$$	$$(h-1)(f-h)\vee 0$$
$$\log_{h}{f}\vee 0$$	$$(h-1)(f-1)\vee 0$$
$$\log_{h}{f}\cdot\log_{p}{g}\vee 0$$	$$(h-1)(f-1)(p-1)(g-1)\vee 0$$
$$\log_{h}{f}+\log_{h}{g}\vee 0$$	$$(h-1)(fg-1)\vee 0$$
Степени
$$h^{f}\vee h^{g}$$	$$(h-1)(f-g)\vee 0$$
$$h^{f}\vee 1$$	$$(h-1)f\vee 0$$
$$f^{h}\vee g^{h}$$	$$(f-g)h\vee 0$$
$$\sqrt{f}\vee \sqrt{g}$$	$$f\vee g$$
Модули
$$\|f\|\vee \|g\|$$	$$(f-g)(f+g)\vee 0$$

Где $f>0,g>0,h>0,h\neq 1, p>0, p\neq 1$ f, g – функции от x, h, p – функция или число, $\vee$ – один из знаков $>, \geq, <, \leq $