Треугольник и его элементы

Рис.1

Пусть А, В, С — три произвольные точки, не лежащие на одной прямой. Фигура, состоящая из трех отрезков АВ, ВС, АС (рис.1), называется треугольником ABC (обозначается: Л ABC). Треугольником также называют часть плоскости, ограниченную отрезками АВ, ВС, АС (плоский треугольник). Точки А, В, С — вершины, отрезки АВ, ВС, АС — стороны треугольника. Сумма длин трех сторон треугольника называется его периметром.

Углом (или внутренним углом) треугольника ABC при вершине А называется угол, образованный лучами АВ и АС. Так же определяются углы треугольника при вершинах В и С.

Углы CAB, ABC у ВСА треугольника ABC часто обозначают одной буквой (А, В, С соответственно) или греческими буквами α, β, γ (при этом внутри углов рисуют дуги, см. рис. 1). Говорят, что угол А противолежит стороне ВС или сторона ВС противолежит углу А; так же угол В и сторона АС, угол С и сторона АВ противолежат (друг другу).

Рис.2

Угол, смежный с каким-нибудь углом треугольника, называется внешним углом этого треугольника. Таков, например, угол BCD (рис.2). При каждом угле треугольника можно построить по два внешних угла (продолжив одну или другую сторону угла). Эти два угла равны как углы вертикальные.

Рис.3

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны, называется биссектрисой треугольника (рис.3).

Любой треугольник имеет три биссектрисы.

Рис.4

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называется медианой треугольника (рис.4).

Любой треугольник имеет три медианы.

Рис.5

Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону, называется высотой треугольника (рис. 5).

Любой треугольник имеет три высоты.

Рис.6

Если один из углов треугольника прямой, то треугольник прямоугольный (рис.6, а); если один из углов тупой — тупоугольный (рис.6, б); если все три угла острые — остроугольный (рис.6, в).

В прямоугольном треугольнике сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, две другие стороны — катетами.

Рис.7

Треугольник, две стороны которого равны, называется равнобедренным (АС = ВС на рис.7, а). Третья сторона — основание, равные стороны — боковые стороны.

Треугольник, три стороны которого равны (АС = ВС = АВ на рис.7, б), называется равносторонним.

Пример 1. Периметр равнобедренного треугольника равен 50 м, боковая сторона — 15 м. Найти основание.

Решение. Обозначим основание через х. Тогда периметр треугольника составит x + 15 + 15. По условию эта сумма равна 50 м, т. е. х + 30 = 50, откуда х = 20. Итак, основание равно 20 м.

Пример 2. Периметр равнобедренного треугольника равен 70 м. Боковая сторона больше основания на 5 м. Найти стороны треугольника.

Решение. Воспользуемся рисунком 7, а. Обозначим АВ через х, тогда ВС = АС через х + 5.

Рис.7

Тогда периметр треугольника составит (х + 5) + (х + 5) + х. По условию эта сумма равна 70, т. е. Зх + 10 = 70, или х = 20. Следовательно, стороны треугольника 20 см, 25 см и 25 см.

Пример 3. Треугольник, периметр которого равен 24 см, делится высотой на два треугольника, периметры которых равны 12 см и 20 см. Найти высоту треугольника.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 5.

АН — высота треугольника ABC

Рис.5

Обозначим периметры треугольников АВС, АВН и АСН соответственно через Р, Р₁ и Р₂. Из рисунка 5 видно, что Р₁ + Р₂ = Р + 2АН, или 12 + 20 = 24 + 2AH, откуда АН = 4.

Пример 4. Укажите номера верных утверждений.

1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
2. Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
3. Если в ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат.

Видео-решение.