Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов $\overrightarrow{a}\{x_1; y_1\} \,и\, \overrightarrow{b}\{х_2; у_2\}$ (обозначается $ \overrightarrow{a}\overrightarrow{b} $ ) называется число $x_1x_2 + y_1y_2$ . Скалярное произведение $\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}$ обозначается $\overrightarrow{a}^2$. Очевидно, $\overrightarrow{a}^2 = |\overrightarrow{a}|^2$ .

Из определения скалярного произведения векторов следует, что для любых векторов $\overrightarrow{a}\{х_1; y_1\}\,, \overrightarrow{b}\{х_2; у_2\}\,, \overrightarrow{c}\{х_3; у_3\}$ $$ (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}\overrightarrow{c} + \overrightarrow{b}\overrightarrow{c} $$ Действительно, левая часть равенства есть $(х_1 + х_2)х_3 + (у_1 + у_2)у_3$ , а правая $х_1х_3 + у_1у_3 + х_2х_3 + у_2у_3$ . Очевидно, они равны.

Углом между ненулевыми векторами $\overrightarrow{АВ} \,и\, \overrightarrow{АС}$ называется угол BAC (рис.1).

Углом между любыми двумя ненулевыми векторами $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.

Теорема 1. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Из этой теоремы получаем следствия.

1. Следствие 1. Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.
2. Следствие 2. Если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

---

---

Пример 1. Даны векторы $\overrightarrow{a}\{1; 0\} \,и\, \overrightarrow{b}\{1; 1\}$ . Найти такое число $\lambda$ , чтобы вектор $\overrightarrow{a} + \lambda\overrightarrow{b}$ был перпендикулярен вектору $\overrightarrow{a}$ .

Решение. Имеем: $ \overrightarrow{a}(\overrightarrow{a} + \lambda\overrightarrow{b}) = 0\,; \overrightarrow{a}^2 + \lambda(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}) = 0$ . Отсюда $ \lambda = - \frac{\overrightarrow{a}^2}{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}} = - \frac{1}{1} = -1 $

---

---