Значения тригонометрических функций некоторых углов

Теорема 1. Для любого острого угла α $$ \bf{ \sin (90° - \alpha) = \cos \alpha \\ \cos (90° - \alpha) = \sin \alpha } $$

Доказательство. Пусть ABC — прямоугольный треугольник с острым углом α при вершине А (см. рис.1).

Рис.1

Тогда острый угол при вершине В равен 90° - α. Согласно определению $$ \sin (90° - \alpha ) = \frac{AC}{AB} \\ \cos (90° - \alpha) = \frac{BC}{AB} $$ или , с учетом формул (1) и (2), $$ \sin (90° - \alpha) = \cos \alpha \\ \cos (90° - \alpha) = \sin \alpha $$ Теорема доказана.

Пример 1. Найти значения sin 45°, cos 45° и tg 45°.

Решение. Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник (рис.2).

Равнобедренный прямоугольный треугольник

Рис.2

В нем каждый острый угол равен 45°. Пусть его катеты равны а. По теореме Пифагора его гипотенуза равна $ a\sqrt{2} $. Теперь по определению имеем: $$ \sin 45° = \frac{a}{a \sqrt{2} } = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \cos 45° = \frac{a}{a \sqrt{2} } = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ {\rm tg}\, 45° = \frac{a}{a} = 1 $$

Пример 2. Найти значения sin 30°, cos 30° и tg 30°.

Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого один из острых углов равен 30° (рис.3).

Прямоугольный треугольник с углом 30°

Рис.3

Пусть его гипотенуза равна с. Так как катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы (пример 3) и, значит (с учетом примера 1) $$ \cos 30° = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ {\rm tg}\, 30° = \frac{ \sqrt{3} }{3} $$

Пример 3. Найти значения sin 60° и tg 60°.

Решение. Согласно установленной выше теореме имеем: $$ \sin 60° = \sin (90° - 30°) = \cos 30° = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \cos 60° = \cos (90° - 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2} $$ Отсюда $$ {\rm tg}\, 60° = \frac{ \sin 60° }{ \cos 60° } = \frac{ \sqrt{3} \bullet 2 }{ 2 \bullet 1 } = \sqrt{3} $$