Длина окружности

Наглядное представление о длине окружности получается следующим образом. Представим себе нить в форме окружности. Разрежем ее и растянем за концы. Длина полученного отрезка и есть длина окружности.

Как найти длину окружности, зная ее радиус? При неограниченном увеличении числа сторон вписанного в окружность правильного многоугольника его периметр неограниченно приближается к длине окружности (рис.1). Это используется при доказательстве следующей теоремы.

Рис.1

Теорема 1. Отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от окружности, т. е. одно и то оке для любых двух окружностей.

Отношение длины окружности к ее диаметру принято обозначать греческой буквой $\pi$ (читается «пи»): $$ \frac{C}{2R} = \pi \,\,\, (6)$$ где С — длина окружности, R — ее радиус.

Число $\pi$ иррациональное, его приближенное значение $\pi \approx 3,1416$.

Из равенства (6) имеем $$ C = 2\pi R, \,\,\, (7) $$ т. е. длина окружности радиуса R вычисляется по формуле (7). Например, длина окружности радиуса 12 м равна $2\pi \bullet 12 = 24\pi\text{ м.}$

Пример 1. На сколько изменится длина окружности, если радиус увеличится на 1 м?

Решение. Пусть радиус первоначальной окружности был R₁ , тогда длина этой окружности $C = 2\pi R_1$ .

По условию радиус первоначальной окружности увеличивается на 1 м, т.е. $R_2 = (R_1 + 1)$ , тогда длина новой окружности $$ C_2 = 2\pi R_2 = 2\pi (R_1 + 1) $$ Найдем разность: $$ C_2 - C_1 = 2\pi (R_1 + 1) - 2\pi R_1 = 2\pi $$ Итак, $ C_2 - C_1 = 2\pi \approx 6,28\text{ (м)}$

Пример 2. Точки М и N делят окружность на две дуги, разность градусных мер которых равна 90°. Чему равны градусные меры каждой из дуг?

Решение. Сумма градусных мер дуг равна 360°, а разность равна 90°. Обозначим градусные меры этих дуг х и у.
Имеем: $$ \left\{\begin{matrix} x + y = 360 \\ x - y = 90 \end{matrix}\right. $$ Решая эту систему, получим х = 225°; у = 135°.

Пример 3. Сторона квадрата равна 4 см. Вычислить длину окружности: 1) вписанной в него; 2) описанной около него.

Решение.

1. Радиус вписанной в квадрат окружности равен 2 см, тогда длина окружности равна $C = 2\pi R \text{ , т. е. } C = 4\pi\text{ см.}$
2. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $\frac{a}{ \sqrt{2} }$. Поэтому $R = \frac{4}{ \sqrt{2} } = 2\sqrt{2}$ , а длина окружности равна $C = 4\sqrt{2}\bullet\pi$ см.