Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия Следующая версия | Предыдущая версия | ||
subjects:mathematics:множество_значений_функции [2018/09/19 20:34] ¶ [НЕ используя производную] |
subjects:mathematics:множество_значений_функции [2018/09/19 21:14] ¶ |
||
---|---|---|---|
Строка 53: | Строка 53: | ||
|$y = x^{\frac{1}{2n+1}}$ |E(y) = (-∞;+∞)| | |$y = x^{\frac{1}{2n+1}}$ |E(y) = (-∞;+∞)| | ||
|$y = a^{x}$ |E(y) = (0;+∞)| | |$y = a^{x}$ |E(y) = (0;+∞)| | ||
- | |$y = \log{a}{x}$ |E(y) = (-∞;+∞)| | + | |$y = \log_{a}{x}$ |E(y) = (-∞;+∞)| |
|$y = \sin{x}$ |E(y) = [-1;1]| | |$y = \sin{x}$ |E(y) = [-1;1]| | ||
|$y = \cos{x}$ |E(y) = [-1;1]| | |$y = \cos{x}$ |E(y) = [-1;1]| | ||
Строка 107: | Строка 107: | ||
++++ | ++++ | ||
- | ++++ $y=\cos{7x}+6\cos{x}$ | | + | ++++ $y=\cos{7x}+5\cos{x}$ | |
Из неравенств | Из неравенств | ||
$$ \\ | $$ \\ | ||
Строка 139: | Строка 139: | ||
\\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 | \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 | ||
$$ | $$ | ||
- | Ответ: E(f) = (–∞; 5]. | + | Ответ: E(f) = (–∞; -5]. |
++++ | ++++ | ||
Строка 151: | Строка 151: | ||
$$ | $$ | ||
Ответ: E(f) = [2; 6]. | Ответ: E(f) = [2; 6]. | ||
+ | ++++ | ||
+ | |||
+ | ++++ $f(x)=\sqrt{2-x}+\sqrt{2+x}$ | | ||
+ | Найдём f<sup>2</sup>(x): | ||
+ | $$\\ f^{2}(x)=4+2\sqrt{4-x^{2}}$$ | ||
+ | Проведя рассуждения, аналогичные приведенным выше, получим, что E(f<sup>2</sup>) = [4; 8]. | ||
+ | |||
+ | Тогда $E(f) = [2;2\sqrt{2}]$ (здесь учтено, что f > 0). | ||
+ | |||
+ | Ответ: $E(f) = [2;2\sqrt{2}]$ | ||
++++ | ++++ | ||
Строка 169: | Строка 179: | ||
-1\leq \cos{(x + \frac{\pi}{4})}\leq 1; | -1\leq \cos{(x + \frac{\pi}{4})}\leq 1; | ||
\\ | \\ | ||
- | -\sqrt{2}\leq cos{(x +\frac{\pi}{4})}\leq\sqrt{2}; | + | -\sqrt{2}\leq \sqrt{2}\cos{(x +\frac{\pi}{4})}\leq\sqrt{2}; |
$$ | $$ | ||
Строка 194: | Строка 204: | ||
==== Иные ==== | ==== Иные ==== | ||
- | ++++ $y=\log{0,5}{(4-2\cdot 3^{x}-9^{x})}$ | | + | ++++ $y=\log_{0,5}{(4-2\cdot 3^{x}-9^{x})}$ | |
Решим этот пример методом последовательного нахождения значений сложных аргументов функции. Выделив полный квадрат под логарифмом, преобразуем функцию | Решим этот пример методом последовательного нахождения значений сложных аргументов функции. Выделив полный квадрат под логарифмом, преобразуем функцию | ||
$$\\ | $$\\ | ||
- | y = \log{0,5}{(5 – (1 + 2·3^{x} – 3^{2x}))} = | + | y = \log_{0,5}{(5 – (1 + 2·3^{x} – 3^{2x}))} = |
\\ | \\ | ||
- | = \log{0,5}{(5 – (3^{x} + 1)^{2})} | + | = \log_{0,5}{(5 – (3^{x} + 1)^{2})} |
$$ | $$ | ||
Строка 211: | Строка 221: | ||
$$ | $$ | ||
- | Обозначим $t = 5 – (3^{x}+1)^{2}$, где -∞≤t≤4. Тем самым задача сводится к нахождению множества значений функции $y = \log{0,5}{t}$ на луче (-∞;4). Так как функция $y = \log{0,5}{t} определена лишь при, то её множество значений на луче (-∞;4) совпадает со множеством значений функции на интервале (0;4), представляющем собой пересечение луча (-∞;4) с областью определения (0;+∞) логарифмической функции. На интервале (0;4) эта функция непрерывна и убывает. При t > 0 она стремится к +∞, а при t = 4 принимает значение -2, поэтому E(y) = (-2, +∞). | + | Обозначим $t = 5 – (3^{x}+1)^{2}$, где -∞≤t≤4. Тем самым задача сводится к нахождению множества значений функции $y = \log_{0,5}{t}$ на луче (-∞;4). Так как функция $y = \log_{0,5}{t}$ определена лишь при t > 0 , то её множество значений на луче (-∞;4) совпадает со множеством значений функции на интервале (0;4), представляющем собой пересечение луча (-∞;4) с областью определения (0;+∞) логарифмической функции. На интервале (0;4) эта функция непрерывна и убывает. При t > 0 она стремится к +∞, а при t = 4 принимает значение -2, поэтому E(y) = (-2, +∞). |
- | ++++ | + | |
- | + | ||
- | ++++ $f(x)=\sqrt{2-x}+\sqrt{2+x}$ | | + | |
- | Найдём f<sup>2</sup>(x): | + | |
- | $$\\ f^{2}(x)=4+2\sqrt{4-x^{2}}$$ | + | |
- | Проведя рассуждения, аналогичные приведенным выше, получим, что E(f<sup>2</sup>) = [4; 8]. | + | |
- | + | ||
- | Тогда $E(f) = [2;2\sqrt{2}]$ (здесь учтено, что f > 0). | + | |
- | + | ||
- | Ответ: $E(f) = [2;2\sqrt{2}]$ | + | |
++++ | ++++ | ||