Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:geometry:теорема_о_сумме_углов_треугольника

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:geometry:теорема_о_сумме_углов_треугольника [2013/07/26 23:45]
subjects:geometry:теорема_о_сумме_углов_треугольника [2013/10/12 01:52] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +<box right 30%|[[start]]>​
 +  * **[[Сумма углов треугольника]]**
 +    * **Теорема о сумме углов треугольника**
 +    * [[Неравенство треугольника]]
 +    * [[Расстояние от точки до прямой]]
 +    * [[Равенство прямоугольных треугольников]]
 +</​box>​
 +====== Теорема о сумме углов треугольника ======
 +**''​Теорема 1.''​ Сумма углов треугольника равна 180°.**
  
 +''​Доказательство.''​ Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем,​ что ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°.
 +
 +Проведем через вершину В прямую а, параллельную стороне АС (рис.1).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​a1425bac3_63.png?​200|Сумма углов треугольника равна 180°}}
 +</​box|Рис.1>​
 +Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых а и АС секущей АВ, а углы 3 и 5 — накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ВС. Поэтому ​
 +\\ ∠ 4 = ∠ 1, ∠ 5 = ∠ 3. (1) 
 +
 +Очевидно,​ сумма углов 4, 2 и 5 равна развернутому углу с вершиной В, т. е.
 +\\ ∠ 4 + ∠ 2 + ∠ 5 = 180°.
 +
 +Отсюда,​ учитывая равенства (1), получаем:​
 +\\ ∠ l + ∠ 2 + ∠ 3 = 180°, или ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°.
 +
 +Теорема доказана.
 +
 +''​Следствие 1.''​ **Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.**
 +
 +''​Следствие 2.''​ **В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45°.**
 +
 +''​Следствие 3.''​ **В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°.**
 +
 +''​Следствие 4.''​ **В любом треугольнике либо все углы острые,​ либо два угла острые,​ а третий тупой или прямой.**
 +
 +''​Следствие 5.''​ **Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.**
 +
 +''​Доказательство.''​ Из равенств ∠ 4 + ∠ 3 = 180° и ∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 180° (рис.2) получаем,​ что ∠ 4 = ∠ 1 + ∠ 2.
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​123_64.png?​200|Доказательство по геометрии для ГИА и ЕГЭ}}
 +</​box|Рис.2>​
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +**Пример 1.** Два угла треугольника равны 27° и 41°. Найти третий угол и определить вид треугольника.
 +
 +**//​Решение.//​** Так как сумма двух углов треугольника равна 68°, то по теореме о сумме углов треугольника третий угол равен 180° - 68° = 112° и, значит,​ данный треугольник тупоугольный. ​
 +
 +----
 +**Пример 2.** Какой вид имеет треугольник,​ в котором один угол равен сумме двух других углов? ​
 +
 +**//​Решение.//​** Обозначим через х градусную меру того угла треугольника,​ который равен сумме двух других углов.
 +Тогда, так как сумма углов треугольника равна 180°, то 2х = 180°, откуда х = 90°, т. е. треугольник прямоугольный.
 +
 +----
 +**Пример 3.** Найти углы треугольника ABC, зная, что угол С на 15° больше,​ а угол В на 30° меньше угла А. 
 +
 +**//​Решение.//​** Обозначим градусную меру угла А через х, тогда градусная мера угла С равна х + 15°, а угол В = х - 30° (рис.3).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​bca_x-30_x_15_x_65.png?​200|Подготовка ГИА и ЕГЭ}}
 +</​box|Рис.3>​
 +Так как сумма внутренних углов треугольника равна 180°, то получаем уравнение х + (х + 15°) + (х - 30°) = 180°. ​
 +
 +Решая его, получаем х = 65°.
 +
 +Таким образом,​ ∠ A = 65°, ∠ B = 35° и ∠ C = 80°. 
 +
 +----
 +**Пример 4.** В треугольнике ABC (рис.4) ∠ A = 60°, ∠ В = 80°.
 +
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​abdc_66.png?​200|Геометрия для ГИА и ЕГЭ}}
 +</​box|Рис.4>​
 +Биссектриса AD этого треугольника отсекает от него треугольник ACD. Найти углы этого треугольника.
 +
 +**//​Решение.//​** ∠ DAB = 30°, так как AD — биссектриса угла А, ∠ ADC = 30° + 80°= 110° как внешний угол треугольника ABD (следствие 5), ∠ С = 180° - (110° + 30°) = 40° по теореме о сумме углов треугольника ACD.
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +|[[Признаки параллельности двух прямых|← ]][[Признаки параллельности двух прямых]]^[[subjects:​geometry:​]]|[[Неравенство треугольника]][[Неравенство треугольника| →]]|
 +^Рекомендуем для обучения:​^^^
 +|[[Свойства равнобедренного треугольника|Свойства равнобедренного треугольника]]|||
subjects/geometry/теорема_о_сумме_углов_треугольника.txt · Последние изменения: 2013/10/12 01:52 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (905) 194 91 19
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты