Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:geometry:решение_треугольников

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:geometry:решение_треугольников [2013/07/27 00:57]
subjects:geometry:решение_треугольников [2013/10/12 02:19] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +<box right 30%|[[start]]>​
 +  * **[[Решение треугольников - Геометрия]]**
 +    * [[Теорема синусов и теорема косинусов]]
 +    * **Решение треугольников**
 +  * [[Многоугольники. Длина окружности]]
 +</​box>​
 +Будем обозначать стороны треугольника через $a, b, c$, a противолежащие им углы через $\alpha, \beta, \gamma$.
  
 +====== Решение треугольников ======
 +Решение треугольников состоит в нахождении неизвестных сторон и углов треугольника по известным его углам и сторонам.
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +**Пример 1.** В треугольнике даны сторона $\alpha = 5$ и два угла $\beta = 30°\,; \gamma = 45°$ . Найти третий угол и остальные две стороны.
 +
 +**//​Решение.//​** Так как сумма углов треугольника равна 180°, то третий угол $\alpha$ находим:​
 +$$ \alpha = 180° - \beta - \gamma = 180° - 30° - 45° = 105° $$
 +Зная сторону и все три угла, по теореме синусов находим две остальные стороны:​
 +$$ b = a \bullet \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} = 5 \bullet \frac{\sin 30^{\circ}}{\sin 105^{\circ}} \approx 5 \bullet \frac{0,​500}{0,​966} \approx 2,59
 +\\ c = a \bullet \frac{\sin \gamma}{\sin \alpha} = 5 \bullet \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 105^{\circ}} \approx 5 \bullet \frac{0,​707}{0,​966} \approx 3,66
 +$$
 +
 +----
 +**Пример 2.** В треугольнике даны две стороны а = 12, b = 8 и угол между ними $\gamma = 60°$. Найти остальные два угла и третью сторону.
 +
 +**//​Решение.//​** Третью сторону находим по теореме косинусов
 +$$ c = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab\bullet \cos \gamma} = \sqrt{144 + 64 - 2 \bullet 12 \bullet 8 \bullet 0,500 } = \sqrt{112} \approx 10,6 $$
 +Теперь,​ имея три стороны,​ по теореме косинусов находим косинус одного из неизвестных углов, например $\cos \alpha$ и сам угол $\alpha$ и, значит,​ угол $\beta$ :
 +$$ \cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \approx 0,189
 +\\ \text{откуда } \alpha \approx 79°\,;
 +\\ \beta = 180° - \alpha - \gamma \approx 180° - 79° - 60° = 41°
 +$$
 +
 +----
 +**Пример 3**. В треугольнике даны две стороны a = 6, b = 8 и угол $\alpha = 30°$. Найти остальные два угла и третью сторону.
 +
 +**//​Решение.//​** По теореме синусов имеем:
 +$$ \sin \beta = \frac{b}{a} • \sin \alpha = \frac{8}{6} • \sin 30° = \frac{8}{6} • \frac{1}{2} \approx 0,667 $$
 +
 +Этому значению синуса соответствуют два угла: $\beta _1 \approx 42°\text{ и }\beta _2 \approx 138°$ .
 +
 +Рассмотрим сначала угол $\beta _1 = 42°$ . По нему находим третий угол $ \gamma _1 = 180° - \alpha - \beta \approx 108°$ и по теореме синусов третью ​
 +сторону:​
 +$$ c = \frac{a \sin \gamma _1}{\sin \alpha} \approx 6 \bullet \frac{\sin 108^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} \approx 6 \bullet \frac{0,​951}{0,​500} \approx 11,4 $$
 +Аналогично по углу $ \beta _2 \approx 138°$ находим $\gamma _2 \approx 12°\text{ и }c_2 \approx 2,49$ .
 +
 +''​Примечание.''​ Видим, что эта задача в отличие от предыдущих имеет два решения. При других числовых данных,​ например при $\alpha \geqslant 90°$ , задача может иметь лишь одно решение или вовсе не иметь. ​
 +
 +----
 +**Пример 4.** Даны три стороны треугольника:​ a = 2, b = 3, c = 4. Найти его углы.
 +
 +**//​Решение.//​** Углы находятся по теореме косинусов:​
 +$$ \cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{7}{8} = 0,875 $$
 +, откуда $\alpha \approx 29°$ .
 +
 +Аналогично находится $\cos \beta = 0,688$ , откуда $\beta \approx 47°\text{ и }\gamma \approx 180° - 47° - 29° = 104°$ .
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +|[[Теорема синусов и теорема косинусов|← ]][[Теорема синусов и теорема косинусов]]^[[subjects:​geometry:​]]|[[Ломаная]][[Ломаная| →]]|
 +^Рекомендуем для обучения:​^^^
 +|[[Зависимости прямоугольного треугольника]]|||
subjects/geometry/решение_треугольников.txt · Последние изменения: 2013/10/12 02:19 —

На главную страницу Обучение Wikipedia Тестирование Контакты Нашли ошибку? Справка

Записаться на занятия

Ошибка Записаться на занятия к репетитору

Телефоны:

  • +7 (910) 874 73 73
  • +7 (905) 194 91 19
  • +7 (831) 247 47 55

Skype: eduVdom.com

закрыть[X]
Наши контакты