Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия | |||
subjects:geometry:длина_окружности [2013/07/27 00:59] ¶ |
subjects:geometry:длина_окружности [2013/10/12 02:21] (текущий) ¶ |
||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | <box right 30%|[[start]]> | ||
+ | * **[[Многоугольники. Длина окружности]]** | ||
+ | * [[Ломаная]] | ||
+ | * [[Многоугольник]] | ||
+ | * [[Правильный многоугольник]] | ||
+ | * **Длина окружности** | ||
+ | * [[Длина дуги окружности. Радианная мера угла]] | ||
+ | </box> | ||
+ | ====== Длина окружности ====== | ||
+ | Наглядное представление о длине окружности получается следующим образом. Представим себе нить в форме окружности. Разрежем ее и растянем за концы. Длина | ||
+ | полученного отрезка и есть длина окружности. | ||
+ | Как найти длину окружности, зная ее радиус? | ||
+ | При неограниченном увеличении числа сторон вписанного в окружность правильного многоугольника его периметр неограниченно приближается к длине окружности (рис.1). Это используется при доказательстве следующей теоремы. | ||
+ | <box 220px> | ||
+ | {{:subjects:geometry:длина_окружности_163.png?200|Длина окружности}} | ||
+ | </box|Рис.1> | ||
+ | |||
+ | **''Теорема 1.'' Отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от окружности, т. е. одно и то оке для любых двух окружностей.** | ||
+ | |||
+ | Отношение длины окружности к ее диаметру принято обозначать греческой буквой $\pi$ (читается «пи»): | ||
+ | $$ \frac{C}{2R} = \pi \,\,\, (6)$$ | ||
+ | где С — длина окружности, R — ее радиус. | ||
+ | |||
+ | Число $\pi$ иррациональное, его приближенное значение $\pi \approx 3,1416$. | ||
+ | |||
+ | Из равенства (6) имеем | ||
+ | $$ C = 2\pi R, \,\,\, (7) $$ | ||
+ | т. е. длина окружности радиуса R вычисляется по формуле (7). Например, длина окружности радиуса 12 м равна $2\pi \bullet 12 = 24\pi\text{ м.}$ | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |[[http://test.eduvdom.com/e/#tests_list_show@step1=12|{{media:obuchenie-test.png?200|Обучение по геометрии}}]]| | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | **Пример 1.** На сколько изменится длина окружности, если радиус увеличится на 1 м? | ||
+ | |||
+ | **//Решение.//** Пусть радиус первоначальной окружности был R<sub>1</sub> , тогда длина этой окружности $C = 2\pi R_1$ . | ||
+ | |||
+ | По условию радиус первоначальной окружности увеличивается на 1 м, т.е. $R_2 = (R_1 + 1)$ , тогда длина новой окружности | ||
+ | $$ C_2 = 2\pi R_2 = 2\pi (R_1 + 1) $$ | ||
+ | Найдем разность: | ||
+ | $$ C_2 - C_1 = 2\pi (R_1 + 1) - 2\pi R_1 = 2\pi $$ | ||
+ | Итак, $ C_2 - C_1 = 2\pi \approx 6,28\text{ (м)}$ | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | **Пример 2.** Точки М и N делят окружность на две дуги, разность градусных мер которых равна 90°. Чему равны градусные меры каждой из дуг? | ||
+ | |||
+ | **//Решение.//** Сумма градусных мер дуг равна 360°, а разность равна 90°. Обозначим градусные меры этих дуг х и у. | ||
+ | \\ Имеем: | ||
+ | $$ \left\{\begin{matrix} | ||
+ | x + y = 360 | ||
+ | \\ x - y = 90 | ||
+ | \end{matrix}\right. | ||
+ | $$ | ||
+ | Решая эту систему, получим х = 225°; у = 135°. | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | **Пример 3.** Сторона квадрата равна 4 см. Вычислить длину окружности: 1) вписанной в него; 2) описанной около него. | ||
+ | |||
+ | **//Решение.//** | ||
+ | - Радиус вписанной в квадрат окружности равен 2 см, тогда длина окружности равна $C = 2\pi R \text{ , т. е. } C = 4\pi\text{ см.}$ | ||
+ | - Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $\frac{a}{ \sqrt{2} }$. Поэтому $R = \frac{4}{ \sqrt{2} } = 2\sqrt{2}$ , а длина окружности равна $C = 4\sqrt{2}\bullet\pi$ см. | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |[[http://test.eduvdom.com/e/#tests_list_show@step1=12|{{media:obuchenie-test.png?200|Обучение по геометрии}}]]| | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |[[Правильный многоугольник|← ]][[Правильный многоугольник]]^[[subjects:geometry:]]|[[Длина дуги окружности. Радианная мера угла]][[Длина дуги окружности. Радианная мера угла| →]]| |