Уравнения равновесия

Проекция силы на ось - характеризует действие этой силы вдоль этой оси.

То есть Проекция силы на ось Ох ($ P_x = \sum X_i $ ) характеризует действие этой силы вдоль оси Ох.

А проекция силы на ось Оу ($ P_y = \sum Y_i $ ) характеризует действие этой силы вдоль оси Оу.

И если сумма проекций всех сил на ось Ох равна нулю ($ \sum X_i = 0 $ )– значит действие этих сил вдоль этой оси Ох нет , силы вдоль этой оси друг друга уравновешивают.

И если сумма проекций всех сил на ось Оу равна нулю ($ \sum Y_i = 0 $ )- значит действие этих сил вдоль этой оси Оу нет , силы друг друга вдоль этой оси Оу уравновешивают.

Вращательное действие силы относительно точки О характеризует момент этой силы относительно этой точки О ($ M_0(P)=0 $) .

И если сумма моментов всех сил относительно точки О равно нулю ($ \sum M_O =0 $), то вращательного действия всех этих сил на тело относительно точки О нет, они его не производят, или их вращательные действия их взаимно уравновешены.

Теперь - если проекции всех сил на оси Ох и Оу равны нулю , и сумма моментов всех сил относительно любой - какой угодно - точки равны нулю, то тело находится в равновесии.

$$ \sum X=0 \\ \sum Y=0 \\ \sum M_A=0 $$

Это и есть условия равновесия тела под действием произвольной плоской системы тел:

Система сил, действующих на тело, называется сходящейся, если линии действия этих сил пересекается в одной точке.

Для того, чтобы система сходящихся сил была уравновешенной, то есть под действием ее тело будет находится в равновесии - условие равновесия системы сходящихся сил, может быть записано : $$ \sum X_i = 0 \\ \sum Y_i = 0 $$

Или другими словами - для плоской системы сходящихся сил, лежащих в плоскости Oxy, соответствующие уравнения равновесия примут вид:

$$ \sum X_i = 0 \\ \sum Y_i = 0 $$

Определение. Проекцией силы $\vec{Р}$ на ось Ox называется взятая с знаком $\pm$ длина отрезка этой оси, заключенная между проекциями на неё начала и конца вектора силы.

Эту проекцию обычно обозначают как Р_x или X. В соответствии с определением она равна:

$$ P_x = X = |\vec{Р}| \cdot \cos (\vec{Р}, \vec{i}) = P \cdot \cos \alpha $$

$$ P_y = Y = |\vec{Р}| \cdot \cos (\vec{Р}, \vec{j}) = P \cdot \sin \alpha $$

, где $\vec{i}$ – единичный вектор оси /Ox/, а $\alpha$ – угол между ним и силой $\vec{Р}$ (Рис.1).

Рис.1

Таким образом:

$$ P_x > 0\text{, если }0 \leq \alpha < \frac{\pi}{2} $$ $$ P_x = 0\text{, если } \alpha = \frac{\pi}{2} $$ $$ P_x < 0\text{, если } \frac{\pi}{2} < \alpha \leq \pi $$

Проекция силы на ось равна нулю, если сила перпендикулярно оси.

Аналогично находится проекция силы Р на ось Oy.

Вектор $ \vec{Р} $ может быть выражен:

$$\vec{Р} = P_x \cdot \vec{i} + P_y \cdot \vec{j} = X \cdot \vec{i} + Y \cdot \vec{j}$$

А равнодействующая плоской системы двух сходящихся сил равна диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах.

Модуль и направление искомого вектора силы Р можно найти по формулам:

$$ P = \sqrt{X^2 + Y^2} \\ \cos (\vec{Р}, \vec{i}) = \frac{X}{P} \\ \cos (\vec{Р}, \vec{j}) = \frac{Y}{P} $$

Приложим в точке А силу P и выясним - чем определяется момент силы относительно точки О, который характеризует вращательное действие этой силы относительно точки О(Рис.1).

Рис.1

Очевидно, что воздействие силы на тело будет зависеть не только от ее величины, но и от того, как она направлена, и в конечном итоге будет определяться ее моментом относительно центра О.

Рассмотренное определение момента силы подходит только для плоской системы сил.

Определение 1. Моментом силы Р относительно центра О называется взятое со знаком $\pm$ произведение модуля силы на ее плечо – то есть длину перпендикуляра, опущенного из моментной точки на линию действия силы.

Правило знаков: момент силы считается положительным, если сила стремится повернуть тело против хода часовой стрелки и отрицательным, если она вращает тело по ходу часовой стрелки.

В соответствии с данным определением момент силы численно равен удвоенной площади треугольника OAB, построенного на векторе силы P с вершиной в моментной точке: $M_0(P) = P\cdot d = 2S\Delta_{OAB}$ .

Отметим, что момент силы относительно точки О равен нулю, если линия действия силы проходит через моментную точку.

Уравнения равновесия плоской системы сил, которые можно записать в трех различных формах:

1. Первая форма:
   $$ \sum X=0 \\ \sum Y=0 \\ \sum M_A=0 $$
2. Вторая форма:
   $$ \sum M_A=0 \\ \sum M_B=0 \\ \sum Y=0 $$ , где ось Oy не перпендикулярна отрезку АВ
3. Третья форма:
   $$ \sum M_A=0 \\ \sum M_B=0 \\ \sum M_C=0 $$ , где точки А, В и С не лежат на одной прямой.

Таким образом, любая из этих трех форм эквивалентна условию равновесия плоской системы сил и наоборот.

Центр тяжести - точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести при любом пространственном расположении тела.

Если тело имеет ось или центр симметрии, то центр тяжести лежит там.

Центр тяжести квадрата и прямоугольника - точка пересечения его диагоналей.

Центр тяжести круга - в его центре.

Центр тяжести треугольника - в точке пересечения медиан.

Уравнения равновесия. Задача 1

Уравнения равновесия. Задача 1

Уравнения равновесия. Задача 2

Уравнения равновесия. Задача 2

Уравнения равновесия. Задача 3

Уравнения равновесия. Задача 3

Центр тяжести

☆ Закон рычага ☆

Момент силы

✘☆ Вращающий момент ☆✘

Золотое правило механики

Балка на двух опорах