Определение тригонометрических функций для любого угла от 0 до 180°

До сих пор значения синуса, косинуса и тангенса были определены только для острых углов. Теперь мы определим их для любого угла от 0 до 180°. Возьмем окружность на плоскости хОу с центром в начале координат и радиусом R (рис.1).

Рис.1

Пусть $\alpha$ — острый угол, который образует радиус ОА с положительной полуосью Ох. Пусть х и у — координаты точки А. Значения $\sin \alpha\,, \cos \alpha \,\,и\,\, {\rm tg}\, \alpha$ для острого угла $\alpha$ выражаются через координаты точки А, а именно: $$ \sin \alpha = \frac{y}{R} \\ \cos \alpha = \frac{x}{R} \\ {\rm tg}\, \alpha = \frac{y}{x} $$ Определим теперь значения $\sin \alpha\,, \cos \alpha \,\,и\,\, {\rm tg}\, \alpha \text{ для любого угла } \alpha$. (Для ${\rm tg}\, \alpha$ угол $\alpha = 90°$ исключается.) Имеем: $$ \sin 90° = \frac{R}{R} = 1 \\ \cos 90° = \frac{0}{R} = 0 \\ \sin 180° = \frac{0}{R} = 0 \\ \cos 180° = -\frac{R}{R} = -1 $$ Считая, что совпадающие лучи образуют угол 0°, будем иметь: $$ \sin 0° = 0\,\,; \cos 0° = 1\,\,; {\rm tg}\, 0° = 0 $$

Теорема 1.

• Для любого угла а, $0° < \alpha < 180°, \sin (180° - \alpha) = \sin \alpha, \cos (180° - \alpha) = -\cos \alpha$.
• Для угла а ≠ 90° ${\rm tg}\, (180° - \alpha) = -{\rm tg}\, \alpha$.

Доказательство. Треугольники ОАВ и $ОА_1В_1$ равны по гипотенузе и острому углу (рис.2).

Рис.2

Из равенства треугольников следует, что $АВ = A_1B_1$ т.е. $у = у_1; ОВ = ОВ_1$, следовательно, $х = -х_1$. Поэтому $$ \sin (180° - \alpha) = \frac{y_1}{R} = \frac{y}{R} = \sin \alpha \\ \cos (180° - \alpha) = \frac{x_1}{R} = -\frac{x}{R} = \cos \alpha $$ Разделив почленно равенство $\sin (180° - \alpha) = \sin \alpha$ на равенство $\cos (180° - \alpha) = -\cos \alpha$, получаем: ${\rm tg}\,(180° - \alpha) = -{\rm tg}\, \alpha $.

Теорема доказана.

Пример 1. Вычислить:

1. sin 135°
2. cos 135°
3. tg l50°

Решение. Согласно только что доказанной теореме:

1. sin 135° = sin(180° - 45°) = sin 45°
2. cos 135° = cos(180° - 45°) = -cos 45°
3. tg 150° = tg(180° - 30°) = -tg 30°.

$$ \text{Ho } \sin 45° = \frac{ \sqrt{2} }{2} \,;\; \cos 45° = \frac{ \sqrt{2} }{2} \,;\; {\rm tg}\, 30° = \frac{1}{ \sqrt{3} } \\ \text{Следовательно, } \sin 135° = \frac{ \sqrt{2} }{2} \,;\; \cos 135° = \frac{ \sqrt{2} }{2} \,;\; {\rm tg}\, 150° = -\frac{1}{ \sqrt{3} } $$