Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:stereometry:объемы_и_поверхности_тел

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:stereometry:объемы_и_поверхности_тел [2013/12/24 21:21]
subjects:stereometry:объемы_и_поверхности_тел [2016/12/23 22:10] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +====== Объемы и поверхности тел ======
 +===== Определения и свойства =====
 +**Объем тела** --- число, показывающее,​ во сколько раз данное тело больше другого тела, принятого за единицу измерения,​ или какую часть тела составляет данное тело от единичного.
  
 +**Единица измерения объема** --- объем куба с единичными линейными размерами.
 +
 +//​Основные свойства объёма://​
 +  * Каждое тело имеет определённый (положительный) объём
 +  * Равные тела имеют равные объёмы
 +  * Если тело состоит из нескольких частей,​ то объём его равен сумме объёмов всех частей
 +  * Объём куба с ребром **a** равен **a<​sup>​3</​sup>​**
 +
 +++++Объём тела [основные понятия]|{{ youtube>​UlAutNU4yNY?​start=11&​end=286 }}++++
 +
 +===== Основные формулы =====
 +Основные формулы объёмов и поверхностей трёхмерных тел.
 +
 +==== Обозначения ====
 +  * **V** -- объем;
 +  * **S** -- площадь основания;​
 +  * **S<​sub>​бок</​sub>​** -- площадь боковой поверхности;​
 +  * **Р** -- площадь полной поверхности;​
 +  * **h** -- высота;​
 +  * **a, b, c** -- измерения прямоугольного параллелепипеда;​
 +  * **A** -- апофема правильной пирамиды и правильной ​ усеченной пирамиды;​
 +  * **l** -- образующая конуса;​
 +  * **p** -- периметр или окружность основания;​
 +  * **r** -- радиус основания;​
 +  * **d** -- диаметр основания;​
 +  * **R** -- радиус шара;
 +  * **D** -- диаметр шара. ​
 +
 +==== Призма и параллелепипед ====
 +[[Призма]],​ прямая и наклонная;​ [[параллелепипед]]:​
 +$$ V=Sh $$
 +
 +[[призма|Прямая призма]]:​
 +$$S_{бок}=ph$$
 +
 +[[Параллелепипед]] прямоугольный:​
 +$$ V = abc
 +\\ Р = 2(ab + bc + ас)
 +$$
 +
 +[[Параллелепипед|Куб]]:​
 +$$ V=a^3
 +\\ P = 6a^2 $$
 +
 +==== Пирамида ====
 +[[Пирамида]],​ правильная и неправильная:​
 +$$ V=\frac{1}{3} Sh$$
 +
 +[[Пирамида|Пирамида правильная]]:​
 +$$ S_{бок}=\frac{1}{2}pA $$
 +
 +[[Пирамида|Усеченная пирамида]],​ правильная и неправильная:​
 +$$ V=\frac{1}{3}(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2)h $$
 +
 +[[Пирамида|Усеченная пирамида]] правильная:​
 +$$ S_{бок}=\frac{1}{2}(p_1+p_2)A $$
 +
 +==== Цилиндр ====
 +[[Цилиндр]] круговой (прямой и наклонный):​
 +$$ V=Sh=\pi r^2h=\frac{1}{4}\pi d^2 h $$
 +
 +[[Цилиндр]] круглый:​
 +$$ S_{бок} = 2\pi rh = \pi dh $$
 +
 +==== Конус ====
 +[[Конус]] круговой (круглый и наклонный):​
 +$$ V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{12}\pi d^2 h $$
 +
 +[[Конус]] круглый:​
 +$$ S_{бок}=\frac{1}{2}pl=\pi rl = \frac{1}{2}\pi dl $$
 +
 +[[Конус|Усеченный конус]] круговой (круглый и наклонный):​
 +$$ V=\frac{1}{3}\pi h(r_1^2 + r_1r_2+ r_2^2)= \frac{1}{12}\pi h(d_1^2 + d_1d_2+ d_2^2) $$
 +
 +[[Конус|Усеченный конус]] круглый:​
 +$$ S_{бок}=\pi (r_1+r_2)l=\frac{1}{2}\pi (d_1+d_2)l $$
 +
 +==== Сфера (Шар) ====
 +[[Сфера|Шар]]:​
 +$$ V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{1}{6}\pi D^3
 +\\ P=4\pi r^2=\pi D^2
 +$$
 + 
 +[[Сфера|Полушарие]]:​
 +$$ V=\frac{2}{3}\pi R^3=\frac{1}{12}\pi D^3
 +\\ S=\pi R^2=\frac{1}{4}\pi D^2
 +\\ S_{бок}=2\pi R^2=\frac{1}{2}\pi D^2
 +\\ P=3\pi R^2=3\pi D^2
 +$$
 +
 +[[Сфера|Шаровой сегмент]]:​
 +$$ V=\pi h^2(R-\frac{1}{3}h)=\frac{\pi h}{6}(h^2+3r^2)
 +\\ S_{бок}=2\pi Rh=\pi(r^2+h^2)
 +\\ P=\pi (2r^2+h^2)
 +$$
 +
 +Шаровой слой:
 +$$ V=\frac{1}{6}\pi h^3+\frac{1}{2}\pi(r_1^2+r_2^2)h
 +\\ S_{бок}=2\pi Rh
 +$$
 +
 +Шаровой сектор:​
 +$$ V=\frac{2}{3}\pi Rºh'​$$
 +(**h'​** — высота сегмента,​ содержащегося в секторе).
 +
 +Полый шар:
 +$$ V=\frac{4}{3}\pi (R_1^3 - R_2^3)=\frac{\pi}{6}(D_1^3 - D_2^3)
 +\\ P = 4\pi (R_1^2 + R_2^2) = \pi(D_1^2+D_2^2)
 +$$
 +(**R<​sub>​1</​sub>​** и **R<​sub>​2</​sub>​** — радиусы внешней и внутренней шаровых поверхностей).
 +
 +===== Рекомендуем =====
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по стереометрии}}]]|
 +
 +===== Объемы и поверхности тел. Пример 1 =====
 +
 +Найдите объем многогранника,​ вершинами которого являются точки A,​B,​C,​A1,​B1,​C1 ​
 +
 +правильный шестиугольник призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 , 
 +
 +площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3
 +
 +
 +{{ youtube>​UopST4gi6cs?​medium |Объемы и поверхности тел.Пример 1}}
 + 
 +
 +===== Рекомендуем =====
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по стереометрии}}]]|
 +
 +----
 +|[[Векторы в пространстве|← ]][[Векторы в пространстве]]|[[subjects:​stereometry:​]]||
 +^Рекомендуем для обучения:​^^^
 +|[[subjects:​geometry:​]]|||
subjects/stereometry/объемы_и_поверхности_тел.txt · Последние изменения: 2016/12/23 22:10 —