Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:geometry:теорема_фалеса._средняя_линия_треугольника

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:geometry:теорема_фалеса._средняя_линия_треугольника [2013/07/27 00:05]
subjects:geometry:теорема_фалеса._средняя_линия_треугольника [2013/10/12 01:59] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +<box right 30%|[[start]]>​
 +  * **[[Четырехугольники - Геометрия]]**
 +    * [[Определение четырехугольника]]
 +    * [[Параллелограмм]]
 +    * [[Диагонали параллелограмма]]
 +    * [[Прямоугольник]]
 +    * [[Ромб]]
 +    * [[Квадрат]]
 +    * **Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника**
 +    * [[Трапеция]]
 +    * [[Центральная и осевая симметрии]]
 +    * [[Пропорциональные отрезки]]
 +</​box>​
 +====== Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника ======
 +''​**Теорема 1.** __Теорема Фалеса(([[http://​ru.wikipedia.org/​wiki/​Фалес%20Милетский|Фалес Милетский]] — древнегреческий ученый философ и математик из Милета (Малая Азия), живший в VI в. до н. э. )).__''​ **Если параллельные прямые,​ пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки,​ то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.**
 +
 +''​Доказательство.''​ Пусть А<​sub>​1</​sub>,​ А<​sub>​2</​sub>,​ А<​sub>​3</​sub>​ — точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла и А<​sub>​2</​sub>​ лежит между А<​sub>​1</​sub>​ и А<​sub>​3</​sub>​ (рис.1).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​a3a2a1_b1_f_b2b3_e_90.png?​200|Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника}}
 +</​box|Рис.1>​
 +Пусть B<​sub>​1</​sub>​ В<​sub>​2</​sub>,​ В<​sub>​3</​sub>​ — соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем,​ что если А<​sub>​1</​sub>​А<​sub>​2</​sub>​ = A<​sub>​2</​sub>​A<​sub>​3</​sub>,​ то В<​sub>​1</​sub>​В<​sub>​2</​sub>​ = В<​sub>​2</​sub>​В<​sub>​3</​sub>​.
 +
 +
 +Проведем через точку В<​sub>​2</​sub>​ прямую EF, параллельную прямой А<​sub>​1</​sub>​А<​sub>​3</​sub>​. По свойству параллелограмма А<​sub>​1</​sub>​А<​sub>​2</​sub>​ = FB<​sub>​2</​sub>​ , A<​sub>​2</​sub>​A<​sub>​3</​sub>​ = B<​sub>​2</​sub>​E .
 +
 +И так как А<​sub>​1</​sub>​А<​sub>​2</​sub>​ = A<​sub>​2</​sub>​A<​sub>​3</​sub>,​ то FB<​sub>​2</​sub>​ = В<​sub>​2</​sub>​Е.
 +
 +Треугольники B<​sub>​2</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​F и В<​sub>​2</​sub>​В<​sub>​3</​sub>​Е равны по второму признаку. У них B<​sub>​2</​sub>​F = В<​sub>​2</​sub>​Е по доказанному. Углы при вершине В<​sub>​2</​sub>​ равны как вертикальные,​ а углы B<​sub>​2</​sub>​FB<​sub>​1</​sub>​ и B<​sub>​2</​sub>​EB<​sub>​3</​sub>​ равны как внутренние накрест лежащие при параллельных А<​sub>​1</​sub>​В<​sub>​1</​sub>​ и A<​sub>​3</​sub>​B<​sub>​3</​sub>​ и секущей EF. Из равенства треугольников следует равенство сторон:​ В<​sub>​1</​sub>​В<​sub>​2</​sub>​ = В<​sub>​2</​sub>​В<​sub>​3</​sub>​ . Теорема доказана.
 +
 +С использованием теоремы Фалеса устанавливается следующая теорема.
 +
 +**''​Теорема 2.''​ Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.**
 +
 +Средней линией треугольника называется отрезок,​ соединяющий середины двух его сторон. На рисунке 2 отрезок ED — средняя линия треугольника ABC.
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​ed_средняя_линия_треугольника_abc_92.png?​200|}}
 +\\ ED — средняя линия треугольника ABC
 +</​box|Рис.2>​
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +**Пример 1.** Разделить данный отрезок на четыре равные части.
 +
 +**//​Решение.//​** Пусть АВ — данный отрезок (рис.3), который надо разделить на 4 равные части.
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​деление_отрезка_на_четыре_равные_части_91.png?​200|Деление отрезка ​
 +на четыре равные части}}
 +\\ Деление отрезка на четыре равные части
 +</​box|Рис.3>​
 +
 +Для этого через точку А проведем произвольную полупрямую а и отложим на ней последовательно четыре равных между собой отрезка AC, CD, DE, ЕК.
 +
 +Соединим точки В и К отрезком. Проведем через оставшиеся точки С, D, Е прямые,​ параллельные прямой ВК, так, чтобы они пересекли отрезок АВ.
 +
 +Согласно теореме Фалеса отрезок АВ разделится на четыре равные части.
 +
 +----
 +**Пример 2.** Диагональ прямоугольника равна а. Чему равен периметр четырехугольника,​ вершины которого являются серединами сторон прямоугольника?​
 +
 +**//​Решение.//​** Пусть условию задачи отвечает рисунок 4.
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​ebfcgdha_93.png?​200|Геометрия ЕГЭ и ГИА}}
 +</​box|Рис.4>​
 +Тогда EF — средняя линия треугольника ABC и, значит,​ по теореме 2.
 +$$ EF = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2} $$
 +
 +Аналогично $$
 +HG = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2} , EH = \frac{1}{2}BD = \frac{a}{2} , FG = \frac{1}{2}BD = \frac{a}{2}
 +$$ и, следовательно,​ периметр четырехугольника EFGH равен 2a.
 +
 +----
 +**Пример 3.** Стороны треугольника равны 2 см, 3 см и 4 см, а вершины его — середины сторон другого треугольника. Найти периметр большого треугольника.
 +
 +**//​Решение.//​** Пусть условию задачи отвечает рисунок 5.
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​daecfb_94.png?​200|Подготовка к ГИА и ЕГЭ по геометрии}}
 +</​box|Рис.5>​
 +Отрезки АВ, ВС, АС — средние линии треугольника DEF. Следовательно,​ согласно теореме 2 $$
 +AB = \frac{1}{2}EF\ \ ,\ \ BC = \frac{1}{2}DE\ \ ,\ \ AC = \frac{1}{2}DF
 +$$ или $$
 +2 = \frac{1}{2}EF\ \ ,\ \ 3 = \frac{1}{2}DE\ \ ,\ \ 4 = \frac{1}{2}DF
 +$$ откуда $$
 +EF = 4\ \ ,\ \ DE = 6\ \ ,\ \ DF = 8
 +$$ и, значит,​ периметр треугольника DEF равен 18 см.
 +
 +----
 +**Пример 4.** В прямоугольном треугольнике через середину его гипотенузы проведены прямые,​ параллельные его катетам. Найти периметр образовавшегося прямоугольника,​ если катеты треугольника равны 10 см и 8 см.
 +
 +**//​Решение.//​** В треугольнике ABC (рис.6)
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​kbdcma_95.png?​200|Геометрия треугольник}}
 +</​box|Рис.6>​
 +∠ А прямой,​ АВ = 10 см, АС = 8 см, KD и MD — средние линии  ​
 +треугольника ABC, откуда $$
 +KD = \frac{1}{2}AC = 4 см.
 +\\
 +MD = \frac{1}{2}AB = 5 см.
 +$$ Периметр прямоугольника К DMА равен 18 см. 
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +|[[Квадрат|← ]][[Квадрат]]^[[subjects:​geometry:​]]|[[Трапеция]][[Трапеция| →]]|
 +^Рекомендуем для обучения:​^^^
 +|[[Признаки подобия треугольников|3 признака подобия треугольников]]|||
 +|[[Свойства равнобедренного треугольника|Свойства равнобедренного треугольника]]|||
 +|[[Пропорциональные отрезки]]|||
 +|[[Подобие произвольных фигур]]|||
  
subjects/geometry/теорема_фалеса._средняя_линия_треугольника.txt · Последние изменения: 2013/10/12 01:59 —