Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:geometry:теорема_синусов_и_теорема_косинусов

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:geometry:теорема_синусов_и_теорема_косинусов [2013/07/27 00:55]
subjects:geometry:теорема_синусов_и_теорема_косинусов [2013/10/12 02:19] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +<box right 30%|[[start]]>​
 +  * **[[Решение треугольников - Геометрия]]**
 +    * **Теорема синусов и теорема косинусов**
 +    * [[Решение треугольников]]
 +</​box>​
 +Будем обозначать стороны треугольника через $a, b, c$, a противолежащие им углы через $\alpha, \beta, \gamma$. ​
  
 +====== Теорема синусов и теорема косинусов ======
 +**''​Теорема 1.''​** __Теорема синусов.__ **Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.**
 +
 +''​Доказательство.''​ Пусть ABC — треугольник со сторонами $a, b, c$ и противолежащими углами $\alpha, \beta, \gamma$ (рис.1, а).
 +<box 420px>
 +{{:​subjects:​geometry:​теорема_синусов_156.png?​400|Теорема синусов}}
 +</​box|Рис.1>​
 +Докажем,​ что
 +$$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} $$
 +Опустим из вершины С высоту CD. Из прямоугольного треугольника ACD, если угол $\alpha$ острый,​ получаем:​ $CD = b \sin \alpha$ (рис.1, б). Если угол $\alpha$ тупой, то $CD = b \sin(180° - \alpha ) = b \sin \alpha$ (рис.1, в). Так же из треугольника BCD получаем:​ $CD = a \sin \beta$ . Итак, $a \sin \beta = b \sin \alpha$ . Отсюда ​
 +$$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} $$
 +Аналогично доказывается равенство ​
 +$$ \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} $$
 +Для доказательства надо провести высоту треугольника из вершины А. Теорема доказана.
 +
 +''​Следствие 1.'' ​
 +$$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R $$
 +** , где R — радиус окружности,​ описанной около треугольника ABC.**
 +
 +Справедлива и следующая теорема.
 +
 +**''​Теорема 2.''​** __Теорема косинусов.__ **Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.**
 +\\ **Например,​ **
 +$$ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \bullet \cos \alpha $$
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +**Пример 1.** В треугольнике ABC угол $\alpha$ равен 30°, угол $\beta$ равен 30°. Найти отношение а:​с. ​
 +
 +**//​Решение.//​** По теореме синусов ​
 +$$ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma} $$
 +Используя теорему о сумме внутренних углов треугольника,​ имеем ​
 +$$ \gamma = 180° - (30° + 30°) = 120° $$
 +Так как ​
 +$$ sin 120° = sin(180° - 60°) = sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ 
 +$$\text{ , то } \frac{a}{ \frac{1}{2} } = \frac{c}{ \frac{ \sqrt{3} }{2} } \text{ , или } a:с = 1:\sqrt{3} $$
 +
 +----
 +**Пример 2.** В треугольнике две стороны 20 м и 21 м, а синус острого угла а между ними равен 0,6. Найти третью сторону а. 
 +
 +**//​Решение.//​** Угол $\alpha$ острый,​ следовательно,​ $\cos \alpha > 0$ . Найдем его, используя тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ :
 +$$ \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha } = \sqrt{1 - 0,36} = 0,8 $$
 +Теперь по теореме косинусов имеем: ​
 +$$ a^2 = 20^2 + 21^2 - 2•20•21•0,​8 = 169 $$
 +откуда а = 13 м.
 +
 +----
 +**Пример 3.** Доказать,​ что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. ​
 +
 +**//​Доказательство.//​** Пусть ABCD — параллелограмм (рис.2).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​параллелограмм_157.png?​200|Параллелограмм геометрия обучение онлайн}}
 +</​box|Рис.2>​
 +Применим теорему косинусов к треугольникам ABC и ABD. Получим
 +$$ АС^2 = АВ^2 + ВС^2 - 2АВ • ВС • cos \beta 
 +\\ BD^2 = АВ^2 + AD^2 - 2АВ • AD • cos \alpha
 +$$
 +Так как $\beta = 180° - \alpha$ , то, складывая эти равенства и замечая,​ что $\cos \beta = \cos (180° - \alpha) = -\cos \alpha \,; АВ = CD\,; ВС = AD$ , получим
 +$$ АС^2 + BD^2 = АВ^2 + ВС^2 + CD^2 + AD^2 $$
 +
 +----
 +**Пример 4.** Длина вектора AB равна 3, длина вектора AC равна 5. 
 +Косинус угла между этими векторами равен 1/15. Найдите длину вектора AB + AC.
 +
 +**//​Видео-решение.//​**
 +{{ youtube>​i-cgh9Hv60M |Длина вектора}}
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +|[[Пропорциональность отрезков хорд и секущих|← ]][[Пропорциональность отрезков хорд и секущих]]^[[subjects:​geometry:​]]|[[Решение треугольников]][[Решение треугольников| →]]|
 +^Рекомендуем для обучения:​^^^
 +|[[http://​www.youtube.com/​watch?​v=i-cgh9Hv60M&​feature=share&​list=PL5sgenQGNJ1Gpt_wItW2kbstLvKo2v61c|Найти длину вектора]]|^[[http://​www.youtube.com/​user/​eduvdomCOM/​videos?​view=1|YouTube]]^
subjects/geometry/теорема_синусов_и_теорема_косинусов.txt · Последние изменения: 2013/10/12 02:19 —