Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:geometry:сложение_и_вычитание_векторов

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:geometry:сложение_и_вычитание_векторов [2013/09/05 16:34]
subjects:geometry:сложение_и_вычитание_векторов [2013/10/12 02:09] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +<box right 30%|[[start]]>​
 +  * **[[Векторы - Геометрия]]**
 +    * [[Понятие вектора]]
 +    * **Сложение и вычитание векторов**
 +    * [[Умножение вектора на число]]
 +    * [[Координаты вектора]]
 +    * [[Скалярное произведение векторов]]
 +</​box>​
 +====== Сложение и вычитание векторов ======
 +Пусть $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$ — два вектора (рис.1, а).
 +<box 520px>
 +{{:​subjects:​geometry:​сложение_двух_векторов_121.png?​500|Сложение двух векторов}}
 +\\ Сложение двух векторов
 +</​box|Рис.1>​
  
 +Возьмем произвольную точку О и построим вектор $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a}$ . Затем от точки А отложим вектор $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}$. Вектор $\overrightarrow{OB}$,​ соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго (рис.1, б), называется суммой этих векторов и обозначается $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$$ (//​правило треугольника//​).
 +
 +Ту же самую сумму векторов можно получить иным способом. Отложим от точки О векторы $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{b} $ (рис.1, в). Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм ОABC. Вектор $\overrightarrow{ОВ}$,​ служащий диагональю этого параллелограмма,​ проведенной из вершины О, является,​ очевидно,​ суммой векторов $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ {//​правило параллелограмма//​). Из //​рисунка 1, в// непосредственно следует,​ что сумма двух векторов обладает переместительным свойством:​ $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}$
 +
 +Действительно,​ каждый из векторов $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} \,и\, = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}$ равен одному и тому же вектору $\overrightarrow{OB}$ .
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +**Пример 1.** В треугольнике ABC АВ = 3, ВС = 4, ∠ В = 90°. Найти: $а)\,\ \overrightarrow{|АВ|} + \overrightarrow{|ВС|};​\,​\,​\ б)\,\ |\overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС}|$ .
 +
 +**//​Решение//​**
 +
 +а) Имеем: $|\overrightarrow{АВ}| = АВ,\,\,\ |\overrightarrow{ВС}| = ВС$ и, значит,​ $|\overrightarrow{АВ}| + |\overrightarrow{BC}| = 7$ .
 +
 +б) Так как $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{ВС} = \overrightarrow{АС} \,\,,\,\, то\,\, |\overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС}| = |\overrightarrow{АС}| = АС$ .
 +
 +Теперь,​ применяя теорему Пифагора,​ находим ​
 +$$ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{9 + 16} = 5
 +\\ т.е.\, |\overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС}| = 5.
 +$$
 +
 +Понятие суммы векторов можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых векторов.
 +
 +Пусть, например,​ даны три вектора $\overrightarrow{a},​ \overrightarrow{b} \,и\, \overrightarrow{c}$ (рис.2).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​сложение_трех_векторов_122.png?​200|Сложение трех векторов}}
 +\\ Сложение трех векторов ​
 +</​box|Рис.2>​
 +Построив сначала сумму векторов $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ , а затем прибавив к этой сумме вектор $\overrightarrow{c}$,​ получим вектор $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c}$ . На рисунке 2 
 +$$ \overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a}\,;​ \overrightarrow{АВ} = b\,; \overrightarrow{ОВ} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\,;​ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c}
 +\\ и
 +\\ \overrightarrow{ОС} = \overrightarrow{ОВ} + \overrightarrow{ВС} = (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c}
 +$$
 +Из рисунка 2 видно, что тот же вектор $\overrightarrow{ОС}$ мы получим,​ если к вектору $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a}$ прибавим вектор ​
 +$\overrightarrow{АВ} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ . Таким образом,​ $(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c})$ , т. е. сумма векторов обладает сочетательным свойством.
 +Поэтому сумму трех векторов $\overrightarrow{a}\,,​\,​\overrightarrow{b}\,,​\,​\overrightarrow{c}$ записывают просто $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$ .
 +
 +//​Разностью//​ двух векторов $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ называется третий вектор $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ , сумма которого с вычитаемым вектором $\overrightarrow{b}$ дает вектор $\overrightarrow{a}$. Таким образом,​ если $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\,,​\,​ то\, \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a}$ .
 +
 +Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора-разности (рис.3).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​вычитание_векторов_123.png?​200|Вычитание векторов }}
 +\\ Вычитание векторов ​
 +</​box|Рис.3>​
 +
 +Откладываем векторы $\overrightarrow{ОА} = \overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$ из общей точки О. Вектор $\overrightarrow{BA}$ , соединяющий концы уменьшаемого вектора $\overrightarrow{a}$ и вычитаемого вектора $\overrightarrow{b}$ и направленный от вычитаемого к уменьшаемому,​ является разностью $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}$ . Действительно,​ по правилу  ​
 +сложения векторов $\overrightarrow{ОВ} + \overrightarrow{ВА} = \overrightarrow{ОА} \text{ , или } \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}$ . 
 +
 +----
 +**Пример 2.** Сторона равностороннего треугольника ABC равна а. Найти: $а) |\overrightarrow{ВА} - \overrightarrow{ВС}|\,;​\,​\ б)\,\,\ |\overrightarrow{АВ} - \overrightarrow{АС}|$ .
 +
 +**//​Решение//​**
 +а) Так как $\overrightarrow{ВА} - \overrightarrow{ВС} = \overrightarrow{СА}\text{ , а }|\overrightarrow{СА}| = а\text{ , то }|\overrightarrow{ВА} - \overrightarrow{ВС}| = а$ . 
 +
 +б) Так как $\overrightarrow{АВ} - \overrightarrow{АС} = \overrightarrow{СВ}\text{ , а }|\overrightarrow{СВ}| = а\text{ , то }|\overrightarrow{АВ} - \overrightarrow{АС}| = а$ .
 +
 +Произведением вектора $\overrightarrow{a}$(обозначается $=\lambda\overrightarrow{a}$ или $\overrightarrow{a}\lambda$) на действительное число $\lambda$ называется вектор $\overrightarrow{b}$,​ коллинеарный вектору $\overrightarrow{a}$,​ имеющий длину, равную $|\lambda||\overrightarrow{a}|$,​ и то же направление,​ что и вектор $\overrightarrow{a}$,​ если $\lambda > 0$ , и направление,​ противоположное направлению вектора $\overrightarrow{a}$,​ если $\lambda < 0$ . Так, например,​ $2\overrightarrow{a}$ есть вектор,​ имеющий то же направление,​ что и вектор $\overrightarrow{a}$ , а длину, вдвое большую,​ чем вектор $\overrightarrow{a}$ (рис.4).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​умножение_вектора_на_число_124.png?​200|Умножение вектора на число}}
 +\\ Умножение вектора на число
 +</​box|Рис.4>​
 +
 +В случае,​ когда $\lambda = 0$ или $\overrightarrow{a} = 0$ , произведение $\lambda\overrightarrow{a}$ представляет ​
 +собой нулевой вектор. Противоположный вектор $-\overrightarrow{a}$ можно рассматривать как результат умножения вектора $\overrightarrow{a}$ на $\lambda = -1$ (см. рис.4):
 +$$ -\overrightarrow{a} = \ (-1)\overrightarrow{a} $$
 +Очевидно,​ что $\overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{a}) = \overrightarrow{0}$ . 
 +----
 +**Пример 3.** Доказать,​ что если О, А, В и С —  произвольные точки, то $\overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{ВС} + \overrightarrow{СО} = 0$ .
 +
 +**//​Решение.//​** Сумма векторов $\overrightarrow{ОА} + \overrightarrow{АВ} + \overrightarrow{СВ} = \overrightarrow{ОС}$ , вектор $\overrightarrow{CO}$ — противоположный вектору $\overrightarrow{ОС}$ . Поэтому $\overrightarrow{ОС} + \overrightarrow{СО} = \overrightarrow{0}$ .
 +
 +Пусть дан вектор $\overrightarrow{a}$. Рассмотрим единичный вектор $\overrightarrow{a_0}$ , коллинеарный вектору $\overrightarrow{a}$ и одинаково с ним направленный. Из определения умножения вектора на число следует,​ что
 +$$ \overrightarrow{a} = |\overrightarrow{a}|\,​\ \overrightarrow{a_0} $$
 +, т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на единичный вектор того же направления. Далее из того же определения следует,​ что если $\overrightarrow{b} = \lambda\overrightarrow{a}$ , где $\overrightarrow{a}$ — ненулевой вектор,​ то векторы $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ коллинеарны. Очевидно,​ что и обратно,​ из коллинеарности векторов $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ следует,​ что $\overrightarrow{b} = \lambda\overrightarrow{a}$.
 +
 +Таким образом,​ получаем [[умножение_вектора_на_число|следующую теорему]].
 +
 +----
 +**Пример 4.** Длина вектора AB равна 3, длина вектора AC равна 5. 
 +Косинус угла между этими векторами равен 1/15. Найдите длину вектора AB + AC.
 +
 +**//​Видео-решение.//​**
 +{{ youtube>​i-cgh9Hv60M |Длина вектора}}
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +|[[Понятие вектора|← ]][[Понятие вектора]]^[[subjects:​geometry:​]]|[[Умножение вектора на число]][[Умножение вектора на число| →]]|
 +^Рекомендуем для обучения:​^^^
 +|[[Свойства равнобедренного треугольника|Свойства равнобедренного треугольника]]|||
 +|[[http://​www.youtube.com/​watch?​v=i-cgh9Hv60M&​feature=share&​list=PL5sgenQGNJ1Gpt_wItW2kbstLvKo2v61c|Найти длину вектора]]|^[[http://​www.youtube.com/​user/​eduvdomCOM/​videos?​view=1|YouTube]]^
subjects/geometry/сложение_и_вычитание_векторов.txt · Последние изменения: 2013/10/12 02:09 —