Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:geometry:равенство_прямоугольных_треугольников

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:geometry:равенство_прямоугольных_треугольников [2013/07/26 23:47]
subjects:geometry:равенство_прямоугольных_треугольников [2013/10/12 01:54] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +<box right 30%|[[start]]>​
 +  * **[[Сумма углов треугольника]]**
 +    * [[Теорема о сумме углов треугольника]]
 +    * [[Неравенство треугольника]]
 +    * [[Расстояние от точки до прямой]]
 +    * **Равенство прямоугольных треугольников**
 +  * [[Четырехугольники - Геометрия]]
 +</​box>​
 +====== Признаки равенства прямоугольных треугольников ======
 +Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами прямой,​ а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников вытекает следствие.
  
 +''​Следствие 1.''​ **Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого,​ то такие треугольники равны.**
 +
 +Далее, из второго признака равенства треугольников вытекает следствие.
 +
 +''​Следствие 2.''​ **Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого,​ то такие треугольники равны.**
 +
 +Рассмотрим еще два признака равенства прямоугольных треугольников. ​
 +
 +**''​Теорема 1.''​ Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого,​ то такие треугольники равны.**
 +
 +''​Доказательство.''​ Из следствия 1 следует,​ что в таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому треугольники равны по второму признаку равенства треугольников. Теорема доказана.
 +
 +**''​Теорема 2.''​ Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого,​ то такие треугольники равны** (рис.1).
 +<box 292px>
 +{{:​subjects:​geometry:​cba_c1b1a1_69.png?​272|Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого,​ то такие треугольники равны}}
 +</​box|Рис.1>​
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +**Пример 1.** Доказать,​ что каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.
 +
 +**//​Решение.//​** Пусть l — биссектриса ∠ АОВ (рис.2).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​acodbml_70.png?​200|каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон}}
 +</​box|Рис.2>​
 +
 +Рассмотрим произвольную точку М, лежащую на луче l. Опустим из точки М перпендикуляры МС и MD на стороны угла АОВ. Прямоугольные треугольники ОМС и OMD равны по теореме 1: у них гипотенуза ОМ общая, а углы СОМ и DOM равны по условию. Отсюда следует,​ что МС = MD. 
 +
 +----
 +**Пример 2.** Доказать,​ что точка плоскости,​ равноудаленная от сторон угла, лежит на биссектрисе этого угла.
 +
 +**//​Решение.//​** Пусть точка М равноудалена от сторон угла АОВ (см. рис.3), т. е. перпендикуляры МС и MD к сторонам угла равны. ​
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​acodbml_70.png?​200|каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон}}
 +</​box|Рис.2>​
 +
 +Тогда Δ ОМС = Δ OMD по теореме 2. Отсюда ∠ СОМ = ∠ DOM, и, следовательно,​ луч ОМ является биссектрисой угла АОВ.
 +
 +''​Замечание.''​ Предложения,​ установленные в примерах 1 и 2 **выражают свойства биссектрисы угла**. Из этих предложений следует,​ что **биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке**.
 +
 +----
 +**Пример 3.** Доказать,​ что **в прямоугольном треугольнике с углом 30° катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы**.
 +
 +**//​Решение.//​** Пусть ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом С и острым углом В, равным 30° (рис.3).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​dbac_30_30_71.png?​200| ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом С и острым углом В, равным 30°}}
 +</​box|Рис.3>​
 +
 +Отложим на продолжении стороны АС отрезок CD, равный АС.
 +
 +Прямоугольные треугольники АСВ и DCB (углы при вершине С прямые) равны по двум катетам (сторона ВС общая, а АС = CD по построению).
 +
 +Из равенства треугольников следует,​ что ∠ D = ∠ А = 60°, ∠ CBD = ∠ CBA = 30°, а значит,​ ∠ ABD= 60°. Отсюда следует,​ что треугольник ABD равносторонний. Поэтому АС = 1/2 * AD = 1/2 * АВ, что и требовалось доказать.
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +|[[Расстояние от точки до прямой|← ]][[Расстояние от точки до прямой]]^[[subjects:​geometry:​]]|[[Определение четырехугольника]][[Определение четырехугольника| →]]|
 +^Рекомендуем обратить внимание:​^^^
 +|[[Признаки подобия треугольников|3 признака подобия треугольников]]|||
 +|[[Свойства равнобедренного треугольника|Свойства равнобедренного треугольника]]|||
subjects/geometry/равенство_прямоугольных_треугольников.txt · Последние изменения: 2013/10/12 01:54 —