Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:geometry:пропорциональность_отрезков_хорд_и_секущих

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:geometry:пропорциональность_отрезков_хорд_и_секущих [2013/07/27 00:53]
subjects:geometry:пропорциональность_отрезков_хорд_и_секущих [2013/10/12 02:15] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +<box right 30%|[[start]]>​
 +  * **[[Окружность - Геометрия]]**
 +    * [[Касательная к окружности]]
 +    * [[Центральные и вписанные углы]]
 +    * [[Вписанная и описанная окружности]]
 +    * **Пропорциональность отрезков хорд и секущих**
 +  * [[Решение треугольников - Геометрия]]
 +</​box>​
 +====== Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности ======
 + 
 +**Задача 1.** Доказать,​ что если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке S, то AS*BS = CS*DS.
  
 +''​Доказательство.''​ Докажем сначала,​ что треугольники ASD и CSB подобны (рис.1).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​ascbd_153.png?​200|Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности}}
 +</​box|Рис.1>​
 +Вписанные углы DCB и DAB равны по [[центральные_и_вписанные_углы|следствию 1]]. Углы ASD и BSC равны как вертикальные. Из  ​
 +равенства указанных углов следует,​ что треугольники ASD и С SB подобны.
 +
 +Из подобия треугольников следует пропорция
 +$$ \frac{DS}{BS} = \frac{AS}{CS} $$
 +
 +Отсюда AS•BS = CS•DS ,что и требовалось доказать.
 +
 +Аналогично устанавливается: ​
 +
 +1) если из точки Р (рис.2), лежащей вне окружности,​ проведены к ней две секущие,​ пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно,​ то AP•BP = CP•DP
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​bapcd_154.png?​200|Окружность и геометрия,​ репетитор ЕГЭ и ГИА}}
 +</​box|Рис.2>​
 +
 +2) если из точки Р (рис.3), лежащей вне окружности,​ проведены к ней секущая,​ пересекающая окружность в точках А и Б, и касательная PC, то РА•РВ = РС<​sup>​2</​sup>​.
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​bapcro_155.png?​200|Геометрия и ГИА, Математика и ЕГЭ, репетитор онлайн}}
 +</​box|Рис.3>​
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +**Пример 1.** Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найти ED, если АЕ = 5 см, BE = 2 см, СЕ = 2,5 см. 
 +
 +**//​Решение.//​** Имеем: АЕ • BE = ED • СЕ (задача),​ или $ 5• 2 = 2,5 • ED\text{ , откуда }ED = \frac{10}{2,​5} = \frac{100}{25} = 4$ (см). ​
 +
 +----
 +**Пример 2.** Из точки А, лежащей вне окружности,​ проведены две секущие. Внутренний отрезок первой равен 47 м, а внешний 9 м; внутренний отрезок второй секущей на 72 м больше внешнего ее отрезка. Найти внешний отрезок второй секущей. ​
 +
 +**//​Решение.//​** Обозначим через х длину внешнего отрезка второй секущей. Тогда согласно условию задачи длина внутреннего отрезка второй секущей будет х + 72. Теперь согласно утверждению 1) имеем:
 +$$ х(х + х 4- 72) = 9(9 + 47) $$ 
 +или
 +$$ x(2x + 72) = 9•56 $$
 +Решая это уравнение,​ находим х = 6. 
 +
 +----
 +**Пример 3.** Из точки Р проведены к окружности касательная PC = 12 м и секущая РВ = 16 м. Найти внешнюю часть секущей АР. 
 +
 +**//​Решение.//​** Обозначим через х длину внешнего отрезка секущей. Тогда согласно утверждению 2) имеем:
 +$$ x•16 = 12^2 $$
 +откуда х = 9.
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +|[[Вписанная и описанная окружности|← ]][[Вписанная и описанная окружности]]^[[subjects:​geometry:​]]|[[Теорема синусов и теорема косинусов]][[Теорема синусов и теорема косинусов| →]]|
subjects/geometry/пропорциональность_отрезков_хорд_и_секущих.txt · Последние изменения: 2013/10/12 02:15 —