Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:geometry:правильный_многоугольник

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:geometry:правильный_многоугольник [2013/10/12 02:20]
subjects:geometry:правильный_многоугольник [2014/09/29 21:14] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +<box right 30%|[[start]]>​
 +  * **[[Многоугольники. Длина окружности]]**
 +    * [[Ломаная]]
 +    * [[Многоугольник]]
 +    * **Правильный многоугольник**
 +    * [[Длина окружности]]
 +    * [[Длина дуги окружности. Радианная мера угла]]
 +</​box>​
 +====== Правильный многоугольник ======
 +**Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник,​ у которого все углы равны и все стороны равны.**
  
 +Примеры правильных многоугольников:​ правильный (или равносторонний) треугольник,​ квадрат,​ правильные пятиугольник,​ шестиугольник и т.д. На //​рисунке 1// изображены правильные пятиугольник и шестиугольник.
 +<box 320px>
 +{{:​subjects:​geometry:​правильные_пяти-_и_шестиугольник_162.png?​300|Правильные пяти- и шестиугольник}}
 +\\ Правильные пятиугольник и шестиугольник
 +</​box|Рис.1>​
 +
 +Так как сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна **(n - 2)180** , то каждый внутренний угол правильного n-угольника равен
 +$$ \frac{n - 2}{n} \bullet 180^{\circ} $$
 +
 +**''​Теорема 1.''​ Если выпуклый многоугольник правильный,​ то:**
 +  - **около него можно описать окружность;​**
 +  - **в него можно вписать окружность,​ причем центры описанной и вписанной окружностей совпадают.**
 +Эта точка называется //​центром правильного многоугольника//​.
 +
 +Приведем формулы для радиуса R описанной окружности и радиуса r вписанной окружности для правильного n-угольника со стороной а:
 +$$ R = \frac{a}{2 \sin { \frac{180 ^{\circ}}{n} } } \,\,\, (1)
 +\\ r = \frac{a}{2 {\rm tg}\, { \frac{180 ^{\circ}}{n} } } \,\,\, (2)
 +$$
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +**Пример 1.** Сколько сторон имеет правильный многоугольник,​ каждый из внутренних углов которого равен 135°?
 +
 +**//​Решение.//​** По условию задачи составим уравнение ​
 +$$ \frac{n - 2}{n} \bullet 180 = 135
 +\\ \text{ или }
 +\\ (n - 2) \bullet 180 = 135 \bullet n
 +$$
 +, откуда **45n = 360** и, значит,​ **n = 8**.
 +
 +Для выпуклых правильных многоугольников справедлива следующая теорема.
 +
 +----
 +**Пример 2.** Для правильного (равностороннего) треугольника $ \left (  n = 3\,; \frac{180 ^{\circ}}{3} = 60^{\circ} \right) $
 +$$ R = \frac{a}{2 \bullet \sin 60 ^{\circ} } = \frac{a}{ \sqrt{3} }
 +\\ r = \frac{a}{2 \bullet {\rm tg}\, 60 ^{\circ} } = \frac{a}{ 2 \sqrt{3} }
 +$$
 +
 +----
 +**Пример 3.** Для правильного четырехугольника,​ т. е. квадрата $ \left (  n = 4\,; \frac{180 ^{\circ}}{4} = 45^{\circ} \right) $
 +$$ R = \frac{a}{2 \bullet \sin 45 ^{\circ} } = \frac{a}{ \sqrt{2} }
 +\\ r = \frac{a}{2 \bullet {\rm tg}\, 45 ^{\circ} } = \frac{a}{2}
 +$$
 +
 +----
 +**Пример 4.** Для правильного шестиугольника $ \left (  n = 6\,; \frac{180 ^{\circ}}{6} = 30^{\circ} \right) $
 +$$ R = \frac{a}{2 \bullet \sin 30 ^{\circ} } = a
 +\,\,;\,\,
 +r = \frac{a}{2 \bullet {\rm tg}\, 30 ^{\circ} } = \frac{a \sqrt{3} }{2} \,\,\, (3)
 +$$
 +Из формул (1) и (2) получаем:​
 +$$ a = 2R \bullet \sin \frac{180^{\circ}}{n} \,\,\, (4)
 +\\ \text{ и }
 +\\ a = 2r \bullet {\rm tg}\, \frac{180^{\circ}}{n} \,\,\, (5)
 +$$
 +
 +----
 +**Пример 5.** Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна 3. Найти сторону квадрата,​ вписанного в эту окружность.
 +
 +**//​Решение.//​** Согласно примеру 2
 +$$ R = \frac{3}{ \sqrt{3} } = \sqrt{2} $$ 
 +Если a — сторона квадрата,​ вписанного в ту же окружность,​ то согласно формуле (4)
 +$$ a = 2 \bullet \sqrt{3} \bullet \sin 45 ^{\circ} = \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{2} }{2} = \sqrt{6} $$
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +|[[Многоугольник|← ]][[Многоугольник]]^[[subjects:​geometry:​]]|[[Длина окружности]][[Длина окружности| →]]|
subjects/geometry/правильный_многоугольник.txt · Последние изменения: 2014/09/29 21:14 —