Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:geometry:координаты_вектора

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:geometry:координаты_вектора [2013/07/27 00:47]
subjects:geometry:координаты_вектора [2013/10/12 02:10] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +<box right 30%|[[start]]>​
 +  * **[[Векторы - Геометрия]]**
 +    * [[Понятие вектора]]
 +    * [[Сложение и вычитание векторов]]
 +    * [[Умножение вектора на число]]
 +    * **Координаты вектора**
 +    * [[Скалярное произведение векторов]]
 +</​box>​
 +====== Координаты вектора ======
 +Обозначим через $\overrightarrow{i} \,и\, \overrightarrow{j}$ единичные векторы,​ отложенные от точки О в положительных направлениях на осях Ох и Оу 
 +прямоугольной системы координат (рис. 1).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​ojyjm2ymajxjm1x_127.png?​200|Координаты вектора}}
 +</​box|Рис.1>​
 +Пусть $\overrightarrow{a}$ — любой вектор на плоскости хОу. Тогда вектор $\overrightarrow{a}$ можно представить в виде
 +$$ \overrightarrow{a} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j} \,\,\, (1)$$
 +и притом единственным образом.
  
 +Если вектор $\overrightarrow{a}$ представлен в виде $\overrightarrow{a} = x \overrightarrow{i} + у \overrightarrow{j}$ , то говорят,​ что $\overrightarrow{a}$ разложен по векторам $\overrightarrow{i} \,и\, \overrightarrow{j}$ . Векторы $\overrightarrow{a}_х = x \overrightarrow{i} \,и\, \overrightarrow{a}_у = у \overrightarrow{j}$ называют //​составляющими вектора $\overrightarrow{a}$ по осям Ох и Оу//. Коэффициенты х и у разложения вектора $\overrightarrow{a}$ по единичным векторам $\overrightarrow{i} \,и\, \overrightarrow{j}$ называют //​координатами//​ вектора $\overrightarrow{a}$ в данной системе координат и записывают $\overrightarrow{a}\{х;​\,​ у\}\text{ . Тогда }|\overrightarrow{a}| = \sqrt{x^2 + у^2}$ .
 +
 +Из единственности представления (1) следует,​ что равные векторы имеют равные соответствующие координаты,​ и обратно,​ если у векторов соответствующие координаты равны, то векторы равны.
 +
 +Пусть дана точка М(х; у). Тогда $\overrightarrow{r} = \overrightarrow{ОМ} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j}$ , где х и у — координаты точки М, т.е. $\overrightarrow{r}\{х;​\,​ у\}, |\overrightarrow{r}| = \sqrt{x^2 + у^2}$ .
 +
 +**''​Теорема 1.''​ Каждая координата суммы векторов $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ равна сумме соответствующих координат этих векторов;​ каждая координата произведения вектора $\overrightarrow{a}$ на число k равна произведению соответствующей координаты этого вектора на число k.**
 +
 +''​Доказательство.''​ Пусть $\overrightarrow{a} = x_1 \overrightarrow{i} + _1 \overrightarrow{j}\,​\,,​\,​ \overrightarrow{b} = x_2\overrightarrow{i} + y_2 \overrightarrow{j} $ .
 +
 +Пользуясь свойствами сложения векторов и умножения вектора на число, получим ​
 +$ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (x_1 \overrightarrow{i} + y_1 \overrightarrow{j}) + (x_2 \overrightarrow{i} + y_2 \overrightarrow{j}) = (x_1 + x_2)\overrightarrow{i} + (y_1 + y_2)\overrightarrow{j} $ .
 +
 +Аналогично доказывается: ​
 +$ k\overrightarrow{a} = K(x_1 \overrightarrow{i} + y_1 \overrightarrow{j}) = (k x_1)\overrightarrow{i} + (k y_1)\overrightarrow{j} $ .
 +
 +Значит,​ координаты вектора $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$ равны $х_1 + х_2$ и $у_1 + у_2$ , координаты вектора $k\overrightarrow{a}$ равны $kx_1 \,и\, ky_1$ . Теорема доказана.
 +
 +''​Следствие 1.''​ Координаты вектора $\overrightarrow{АВ}$ , заданного двумя точками $А(х_1; у_1) \,и\, В(х_2; у_2)$ , равны разностям соответствующих координат точек А и В.
 +
 +''​Доказательство.''​ Имеем $\overrightarrow{АВ} = \overrightarrow{ОВ} - \overrightarrow{ОА}$ (рис.2).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​abx2-x1_y2-y1_128.png?​200|Репетитор геометрия и алгебра ГИА ЕГЭ}}
 +</​box|Рис.2>​
 +Так как $\overrightarrow{ОА}\{х_1;​ y_1\},\, \overrightarrow{ОВ}\{х_2;​ у_2\}$ , то по теореме 1: $\overrightarrow{АВ} \{х_2 - х_1;\, у_2 - у_1\}$ .
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +**Пример 1.** Найти координаты вектора $\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} - 3\overrightarrow{b}$ , если $\overrightarrow{a}\{3;​2\},​\,​\overrightarrow{b}\{-3;​1\}$ .
 +
 +**//​Решение.//​** Согласно полученной теореме 1:
 +\\ х = 3 - 3•(-3) = 12 ;
 +\\ у = 2 - 3•1 = -1 .
 +
 +----
 +**Пример 2.** Найти координаты вектора $\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB}$ , если А(1;3) и В(5;8).
 +
 +**//​Решение.//​** Согласно следствию 1:
 +\\ x = 5 - 1 = 4 ;
 +\\ y = 8 - 3 = 5 .
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +|[[Умножение вектора на число|← ]][[Умножение вектора на число]]^[[subjects:​geometry:​]]|[[Скалярное произведение векторов]][[Скалярное произведение векторов| →]]|
 +^Рекомендуем для обучения:​^^^
 +|[[subjects:​stereometry:​Векторы в пространстве]]|^[[subjects:​stereometry:​]]|
subjects/geometry/координаты_вектора.txt · Последние изменения: 2013/10/12 02:10 —