Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия | |||
subjects:geometry:значения_тригоном._ф._некоторых_углов [2013/07/27 00:11] ¶ |
subjects:geometry:значения_тригоном._ф._некоторых_углов [2013/10/12 02:05] (текущий) ¶ |
||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | <box right 30%|[[start]]> | ||
+ | * **[[Теорема Пифагора - Геометрия]]** | ||
+ | * [[Тригонометрические функции острого угла]] | ||
+ | * [[Теорема Пифагора]] | ||
+ | * [[Основные тригонометрические тождества]] | ||
+ | * **Значения тригоном. ф. некоторых углов** | ||
+ | * [[Зависимости прямоугольного треугольника]] | ||
+ | * [[Решение прямоугольных треугольников]] | ||
+ | </box> | ||
+ | ====== Значения тригонометрических функций некоторых углов ====== | ||
+ | |||
+ | **''Теорема 1.'' Для любого острого угла α** | ||
+ | $$ \bf{ | ||
+ | \sin (90° - \alpha) = \cos \alpha | ||
+ | \\ \cos (90° - \alpha) = \sin \alpha | ||
+ | } $$ | ||
+ | ''Доказательство.'' Пусть ABC — прямоугольный треугольник с острым углом α при вершине А (см. рис.1). | ||
+ | <box 220px> | ||
+ | {{:subjects:geometry:aabc_sin_a_cos_a_tg_a_106.png?200|Значения тригонометрических функций некоторых углов}} | ||
+ | </box|Рис.1> | ||
+ | Тогда острый угол при вершине В равен 90° - α. Согласно определению | ||
+ | $$ \sin (90° - \alpha ) = \frac{AC}{AB} \\ \cos (90° - \alpha) = \frac{BC}{AB} $$ | ||
+ | или [[тригонометрические_функции_острого_угла|, с учетом формул (1) и (2),]] | ||
+ | $$ \sin (90° - \alpha) = \cos \alpha \\ \cos (90° - \alpha) = \sin \alpha $$ | ||
+ | Теорема доказана. | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |[[http://test.eduvdom.com/e/#tests_list_show@step1=12|{{media:obuchenie-test.png?200|Обучение по геометрии}}]]| | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | **Пример 1.** Найти значения sin 45°, cos 45° и tg 45°. | ||
+ | |||
+ | **//Решение.//** Рассмотрим [[Свойства равнобедренного треугольника|равнобедренный]] прямоугольный треугольник (рис.2). | ||
+ | <box 220px> | ||
+ | {{:subjects:geometry:равнобедренный_прямоугольный_треугольник_111.png?200|Равнобедренный прямоугольный треугольник}} | ||
+ | \\ Равнобедренный прямоугольный треугольник | ||
+ | </box|Рис.2> | ||
+ | В нем каждый острый угол равен 45°. Пусть его катеты равны а. По теореме Пифагора его гипотенуза равна $ a\sqrt{2} $. Теперь по определению имеем: | ||
+ | $$ \sin 45° = \frac{a}{a \sqrt{2} } = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2} | ||
+ | \\ \cos 45° = \frac{a}{a \sqrt{2} } = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2} | ||
+ | \\ {\rm tg}\, 45° = \frac{a}{a} = 1 | ||
+ | $$ | ||
+ | ---- | ||
+ | **Пример 2.** Найти значения sin 30°, cos 30° и tg 30°. | ||
+ | |||
+ | **//Решение.//** Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого один из острых углов равен 30° (рис.3). | ||
+ | <box 220px> | ||
+ | {{:subjects:geometry:прямоугольный_треугольник_с_углом_30_112.png?200|Прямоугольный треугольник с углом 30°}} | ||
+ | \\ Прямоугольный треугольник с углом 30° | ||
+ | </box|Рис.3> | ||
+ | Пусть его гипотенуза равна с. Так как катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы ([[равенство_прямоугольных_треугольников|пример 3]]) и, значит ([[основные_тригонометрические_тождества|с учетом примера 1]]) | ||
+ | $$ \cos 30° = \frac{ \sqrt{3} }{2} | ||
+ | \\ {\rm tg}\, 30° = \frac{ \sqrt{3} }{3} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | **Пример 3.** Найти значения sin 60° и tg 60°. | ||
+ | |||
+ | **//Решение.//** Согласно установленной выше теореме имеем: | ||
+ | $$ \sin 60° = \sin (90° - 30°) = \cos 30° = \frac{ \sqrt{3} }{2} | ||
+ | \\ \cos 60° = \cos (90° - 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2} | ||
+ | $$ | ||
+ | Отсюда | ||
+ | $$ {\rm tg}\, 60° = \frac{ \sin 60° }{ \cos 60° } = \frac{ \sqrt{3} \bullet 2 }{ 2 \bullet 1 } = \sqrt{3} $$ | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |[[http://test.eduvdom.com/e/#tests_list_show@step1=12|{{media:obuchenie-test.png?200|Обучение по геометрии}}]]| | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | |[[Основные тригонометрические тождества|← ]][[Основные тригонометрические тождества]]^[[subjects:geometry:]]|[[Зависимости прямоугольного треугольника]][[Зависимости прямоугольного треугольника| →]]| | ||
+ | ^Рекомендуем для обучения:^^^ | ||
+ | |[[Тригонометрические функции острого угла]]||| | ||
+ | |[[Решение прямоугольных треугольников]]||| | ||
+ | |[[Свойства равнобедренного треугольника|Свойства равнобедренного треугольника]]||| | ||
+ | |[[subjects:mathematics:Тригонометрические выражения и формулы]]|^[[subjects:mathematics:]]| |