Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

--- subjects:geometry:значения_тригоном._ф._некоторых_углов [2013/07/27 00:11]
¶
+++ subjects:geometry:значения_тригоном._ф._некоторых_углов [2013/10/12 02:05] (текущий)
¶
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+<box right 30%|[[start]]>
+  * **[[Теорема Пифагора - Геометрия]]**
+    * [[Тригонометрические функции острого угла]]
+    * [[Теорема Пифагора]]
+    * [[Основные тригонометрические тождества]]
+    * **Значения тригоном. ф. некоторых углов**
+    * [[Зависимости прямоугольного треугольника]]
+    * [[Решение прямоугольных треугольников]]
+</box>
+====== Значения тригонометрических функций некоторых углов ======
+**''Теорема 1.'' Для любого острого угла α**
+$$ \bf{
+   \sin (90° - \alpha) = \cos \alpha
+   \\ \cos (90° - \alpha) = \sin \alpha
+} $$
+''Доказательство.'' Пусть ABC — прямоугольный треугольник с острым углом α при вершине А (см. рис.1).
+<box 220px>
+{{:subjects:geometry:aabc_sin_a_cos_a_tg_a_106.png?200|Значения тригонометрических функций некоторых углов}}
+</box|Рис.1>
+Тогда острый угол при вершине В равен 90° - α. Согласно определению
+$$ \sin (90° - \alpha ) = \frac{AC}{AB} \\ \cos (90° - \alpha) = \frac{BC}{AB} $$
+или [[тригонометрические_функции_острого_угла|, с учетом формул (1) и (2),]]
+$$ \sin (90° - \alpha) = \cos \alpha \\ \cos (90° - \alpha) = \sin \alpha $$
+Теорема доказана.
+----
+|[[http://test.eduvdom.com/e/#tests_list_show@step1=12|{{media:obuchenie-test.png?200|Обучение по геометрии}}]]|
+----
+**Пример 1.** Найти значения sin 45°, cos 45° и tg 45°.
+**//Решение.//** Рассмотрим [[Свойства равнобедренного треугольника|равнобедренный]] прямоугольный треугольник (рис.2).
+<box 220px>
+{{:subjects:geometry:равнобедренный_прямоугольный_треугольник_111.png?200|Равнобедренный прямоугольный треугольник}}
+\\ Равнобедренный прямоугольный треугольник
+</box|Рис.2>
+В нем каждый острый угол равен 45°. Пусть его катеты равны а. По теореме Пифагора его гипотенуза равна $ a\sqrt{2} $. Теперь по определению имеем:
+$$ \sin 45° = \frac{a}{a \sqrt{2} } = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2}
+\\ \cos 45° = \frac{a}{a \sqrt{2} } = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{2}
+\\ {\rm tg}\, 45° = \frac{a}{a} = 1
+$$
+----
+**Пример 2.** Найти значения sin 30°, cos 30° и tg 30°.
+**//Решение.//** Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого один из острых углов равен 30° (рис.3).
+<box 220px>
+{{:subjects:geometry:прямоугольный_треугольник_с_углом_30_112.png?200|Прямоугольный треугольник с углом 30°}}
+\\ Прямоугольный треугольник с углом 30°
+</box|Рис.3>
+Пусть его гипотенуза равна с. Так как катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы ([[равенство_прямоугольных_треугольников|пример 3]]) и, значит ([[основные_тригонометрические_тождества|с учетом примера 1]])
+$$ \cos 30° = \frac{ \sqrt{3} }{2}
+\\ {\rm tg}\, 30° = \frac{ \sqrt{3} }{3}
+$$
+----
+**Пример 3.** Найти значения sin 60° и tg 60°.
+**//Решение.//** Согласно установленной выше теореме имеем:
+$$ \sin 60° = \sin (90° - 30°) = \cos 30° = \frac{ \sqrt{3} }{2}
+\\ \cos 60° = \cos (90° - 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2}
+$$
+Отсюда
+$$ {\rm tg}\, 60° = \frac{ \sin 60° }{ \cos 60° } = \frac{ \sqrt{3} \bullet 2 }{ 2 \bullet 1 } = \sqrt{3} $$
+----
+|[[http://test.eduvdom.com/e/#tests_list_show@step1=12|{{media:obuchenie-test.png?200|Обучение по геометрии}}]]|
+----
+|[[Основные тригонометрические тождества|← ]][[Основные тригонометрические тождества]]^[[subjects:geometry:]]|[[Зависимости прямоугольного треугольника]][[Зависимости прямоугольного треугольника| →]]|
+^Рекомендуем для обучения:^^^
+|[[Тригонометрические функции острого угла]]|||
+|[[Решение прямоугольных треугольников]]|||
+|[[Свойства равнобедренного треугольника|Свойства равнобедренного треугольника]]|||
+|[[subjects:mathematics:Тригонометрические выражения и формулы]]|^[[subjects:mathematics:]]|

wiki.eduVdom.com

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Различия

Инструменты страницы