Инструменты пользователя

Инструменты сайта


subjects:geometry:вписанная_и_описанная_окружности

Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

Предыдущая версия справа и слева Предыдущая версия
subjects:geometry:вписанная_и_описанная_окружности [2013/07/27 00:52]
subjects:geometry:вписанная_и_описанная_окружности [2013/10/12 02:14] (текущий)
Строка 1: Строка 1:
 +<box right 30%|[[start]]>​
 +  * **[[Окружность - Геометрия]]**
 +    * [[Касательная к окружности]]
 +    * [[Центральные и вписанные углы]]
 +    * **Вписанная и описанная окружности**
 +    * [[Пропорциональность отрезков хорд и секущих]]
 +</​box>​
 +====== Вписанная и описанная окружности ======
 +Окружность называется вписанной в треугольник,​ если она касается всех его сторон.
  
 +Окружность называется описанной около треугольника,​ если она проходит через все его вершины.
 +
 +**''​Теорема 1.''​ Центр окружности,​ вписанной в треугольник,​ является точкой пересечения его биссектрис.**
 +
 +''​Доказательство.''​ Пусть ABC — данный треугольник,​ О — центр вписанной в него окружности,​ D, Е и F — точки касания окружности со сторонами (рис.1).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​aecofbd_149.png?​200|Репетитор онлайн курсы обучение}}
 +</​box|Рис.1>​
 +
 +Прямоугольные треугольники AOD и АОЕ равны по гипотенузе и катету. У них гипотенуза АО общая, а катеты OD и ОЕ равны как радиусы. Из  ​
 +равенства треугольников следует равенство углов OAD и ОАЕ. А это значит,​ что точка О лежит на биссектрисе треугольника,​ проведенной из вершины А. Точно так же доказывается,​ что точка О лежит на двух других биссектрисах треугольника. Теорема доказана.
 +
 +В случае описанной окружности имеет место следующая теорема.
 +
 +**''​Теорема 2.''​ Центр окружности,​ описанной около треугольника,​ лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника** (рис.2).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​aobecd_геометрия_150.png?​200|Вся геометрия онлайн}}
 +</​box|Рис.2>​
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +**Пример 1.** Найти радиус окружности //r//, вписанной в равносторонний треугольник ABC со стороной а.
 +
 +**//​Решение.//​** В силу [свойства_равнобедренного_треугольника|теоремы 2] в равностороннем ​ треугольнике каждая биссектриса является одновременно медианой и высотой. Поэтому центр О вписанной окружности лежит в точке пересечения медиан,​ которая делит каждую ​
 +медиану в отношении 2:1, считая от вершины ([[признаки_подобия_треугольников|пример 5]]).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​треугольник_acb_od_окружность_151.png?​200|Треугольник и вписанная окружность}}
 +</​box|Рис.3>​
 +
 +Из прямоугольного треугольника ACD (рис.3) согласно теореме Пифагора имеем:
 +$$ AC^2 = AD^2 + CD^2\text{ , или }CD^2 = AC^2 - AD^2
 +\\ \text{, откуда }
 +\\ CD^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}
 +\\ \text{ и, значит,​ }
 +\\ CD^2 = \frac{ a\sqrt{3} }{2}
 +\\ \text{ . Поэтому }r = \frac{a \sqrt{3} }{6}
 +$$
 +
 +----
 +**Пример 2.** В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 и 16 см. Вычислить радиус описанной окружности.
 +
 +**//​Решение.//​** Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности совпадает с серединой гипотенузы,​ откуда радиус описанной окружности $R = \frac{1}{2} АВ$ (рис.4).
 +<box 220px>
 +{{:​subjects:​geometry:​cab_описанный_треугольник_152.png?​200|Описанный треугольник}}
 +</​box|Рис.4>​
 +По теореме Пифагора
 +$$ АВ^2 = АС^2 + СВ^2 \text{ или Рис.4 }
 +\\ АВ^2 =16^2 + 12^2 = 400
 +\\ \text{ откуда }АВ = \sqrt{400} = 20\text{ и, значит,​ }R = 10\text{ (см).}
 +$$
 +
 +----
 +**Пример 3.** Основание AC равнобедренного треугольника ABC равна ​ 12. Окружность с центром вне этого треугольника имеет радиус 8 и касается продолжения боковых сторон треугольника ABC: BC и BA, а также касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности,​ вписанной в треугольник ABC.
 +
 +**//​Видео-решение.//​**
 +{{ youtube>​fBeUkmD1bCI |равнобедренный треугольник,​ окружность}}
 +
 +----
 +|[[http://​test.eduvdom.com/​e/#​tests_list_show@step1=12|{{media:​obuchenie-test.png?​200|Обучение по геометрии}}]]|
 +
 +----
 +|[[Центральные и вписанные углы|← ]][[Центральные и вписанные углы]]^[[subjects:​geometry:​]]|[[Пропорциональность отрезков хорд и секущих]][[Пропорциональность отрезков хорд и секущих| →]]|
 +^Рекомендуем для обучения:​^^^
 +|[[Свойства равнобедренного треугольника|Свойства равнобедренного треугольника]]|||
 +|[[http://​www.youtube.com/​watch?​v=fBeUkmD1bCI&​feature=share&​list=PL5sgenQGNJ1Gpt_wItW2kbstLvKo2v61c|Найти радиус вписанной окружности]]|^[[http://​www.youtube.com/​user/​eduvdomCOM/​videos?​view=1|YouTube]]^
subjects/geometry/вписанная_и_описанная_окружности.txt · Последние изменения: 2013/10/12 02:14 —