Инструменты пользователя
subjects:diffury:уравнения_с_разделяющимися_переменными
Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
| Следующая версия | Предыдущая версия Следующая версия Следующая версия справа и слева | ||
|
subjects:diffury:уравнения_с_разделяющимися_переменными [2014/12/10 21:27] ¶ создано |
subjects:diffury:уравнения_с_разделяющимися_переменными [2014/12/13 14:47] ¶ |
||
|---|---|---|---|
| Строка 2: | Строка 2: | ||
| * **[[]]** | * **[[]]** | ||
| </box> | </box> | ||
| - | ====== Уравнения с разделяющимися переменными ====== | + | ====== Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными ====== |
| Уравнения вида $\varphi_1(x)\Psi_1(y)dx=\varphi_2(x)\Psi_2(y)dy$ , в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от ''X'' и только от ''Y'' называется уравнением с разделяющими переменными. Путём деления на произведение $\varphi_1(y)\varphi_2(x)$ оно приводится к уравнению с разделёнными переменными: | Уравнения вида $\varphi_1(x)\Psi_1(y)dx=\varphi_2(x)\Psi_2(y)dy$ , в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от ''X'' и только от ''Y'' называется уравнением с разделяющими переменными. Путём деления на произведение $\varphi_1(y)\varphi_2(x)$ оно приводится к уравнению с разделёнными переменными: | ||
| Строка 21: | Строка 21: | ||
| $$ | $$ | ||
| - | ---- | + | ===== Примеры ===== |
| **Пример 1**. | **Пример 1**. | ||
| + | Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]: | ||
| + | ${xy}'-y=1$ | ||
| - | Найти частное решение уравнения $(1+e^{x})y{y}'=e^{x}$, удовлетворяющее начальному условию $y|_{x=0}=1$ | + | ''Решение дифференциального уравнения:'' |
| - | Решение. Имеем $(1+e^{x})y\frac{dy}{dx}=e^{x}$ | + | {{ youtube>W0KEM_0O3as |Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Общее решение }} |
| + | |||
| + | ---- | ||
| + | **Пример 2**. | ||
| + | Найти частное решение уравнения $(1+e^{x})y{y}'=e^{x}$, удовлетворяющее начальному условию $y|_{x=0}=1$ ([[решение задачи коши|задача Коши]]) | ||
| + | |||
| + | ''Решение.'' Имеем $(1+e^{x})y\frac{dy}{dx}=e^{x}$ | ||
| Разделяя переменные, получаем: | Разделяя переменные, получаем: | ||
| $$ | $$ | ||
| - | ydy = | + | y\;dy = |
| \frac{e^{x}}{1+e^{x}}dx | \frac{e^{x}}{1+e^{x}}dx | ||
| $$ | $$ | ||
| Строка 36: | Строка 44: | ||
| Интегрируя, найдём общий интеграл: | Интегрируя, найдём общий интеграл: | ||
| $$ | $$ | ||
| - | \int ydy = | + | \int y\;dy = |
| \int \frac{e^{x}}{1+e^{x}}dx | \int \frac{e^{x}}{1+e^{x}}dx | ||
| \\ | \\ | ||
| Строка 42: | Строка 50: | ||
| \qquad (1) | \qquad (1) | ||
| $$ | $$ | ||
| + | |||
| + | (**1**) -- [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]] | ||
| Полагая ''X=0'' и ''Y=1'', будем иметь $\frac{1}{2}=\ln{2}+C$ , откуда $C=\frac{1}{2} -\ln{2}$ | Полагая ''X=0'' и ''Y=1'', будем иметь $\frac{1}{2}=\ln{2}+C$ , откуда $C=\frac{1}{2} -\ln{2}$ | ||
| - | Подставляя в (**1**) найденное значение ''C'', получаем частное решение | + | Подставляя в (**1**) найденное значение ''C'', получаем частное ([[решение задачи коши|решение задачи Коши]]) |
| $$ | $$ | ||
| y^{2} = | y^{2} = | ||
| Строка 63: | Строка 73: | ||
| } | } | ||
| $$ | $$ | ||
| + | |||
| + | ---- | ||
| + | **Пример 3**. | ||
| + | - Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]: $y\;dx+x\;dy=0$ | ||
| + | - Которое [[решение задачи коши|удовлетворяет начальному условию]]: $y(1)=-2$ | ||
| + | |||
| + | ''Решение дифференциального уравнения:'' | ||
| + | |||
| + | {{ youtube>OGw4s85o-_Y |Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Решение задачи Коши }} | ||
| + | |||
| + | ---- | ||
| + | **Пример 4**. | ||
| + | Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]: | ||
| + | $$ \frac{dy}{dx}=x^{3} $$ | ||
| + | |||
| + | ''Решение дифференциального уравнения:'' | ||
| + | |||
| + | {{ youtube>Hny4dYVarnQ |Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Общее решение дифференциального уравнения }} | ||
| + | |||
| + | ---- | ||
| + | **Пример 5**. | ||
| + | Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]: | ||
| + | $$ \frac{dy}{dx}=2\frac{y}{x} $$ | ||
| + | |||
| + | ''Решение дифференциального уравнения:'' | ||
| + | |||
| + | {{ youtube>N7GmPlgr-ls |ДУ с разделяющимися переменными. Найти общее решение. Пример }} | ||
| + | |||
| + | ---- | ||
| + | **Пример 6**. | ||
| + | Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]: | ||
| + | $$ \frac{dy}{dx}=-xy $$ | ||
| + | |||
| + | ''Решение дифференциального уравнения:'' | ||
| + | |||
| + | {{ youtube>WMqqj_37QKo |Найти общее решение дифференциального уравнения. ДУ с разделяющимися переменными. Пример решения }} | ||
| + | |||
| + | ---- | ||
| + | **Пример 7**. | ||
| + | $$ {y}'={\rm tg}\,x\cdot{\rm tg}\,y $$ | ||
| + | |||
| + | ''Решение:'' | ||
| + | |||
| + | {{ youtube>KbgOGbAjGLg?122 |ДУ с разделяющимися переменными }} | ||
| + | |||
| + | ---- | ||
| + | **Пример 8**. | ||
| + | - Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]: $$\frac{dy}{dx}=\frac{{x}^{2}}{y}$$ | ||
| + | - Которое [[решение задачи коши|удовлетворяет начальному условию]]: $y(0)=3$ | ||
| + | |||
| + | ''Решение дифференциального уравнения:'' | ||
| + | |||
| + | {{ youtube>SgEn1IMLDVw |Решение задачи Коши (диффуры). Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными }} | ||
| ---- | ---- | ||
| <box center 40%>[[start]]</box> | <box center 40%>[[start]]</box> | ||
subjects/diffury/уравнения_с_разделяющимися_переменными.txt · Последние изменения: 2014/12/15 20:25 — ¶
Инструменты страницы
Записаться на занятия
Записаться на занятия к репетитору
