Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
Следующая версия | Предыдущая версия | ||
subjects:diffury:однородные_уравнения [2014/12/10 22:20] ¶ создано |
subjects:diffury:однородные_уравнения [2014/12/15 20:26] (текущий) ¶ |
||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
- | <box right 30%|[[start]]> | + | |[** ⇐ [[start|Полный список тем по дифференциальным уравнениям (ДУ)]] **]| |
- | * **[[]]** | + | |
- | </box> | + | ====== Однородные дифференциальные уравнения ====== |
- | ====== Однородные уравнения ====== | + | |
Функция ''f(x,y)'' называется однородной функцией своих аргументов измерения ''n'', если справедливо тождество | Функция ''f(x,y)'' называется однородной функцией своих аргументов измерения ''n'', если справедливо тождество | ||
$$ f(tx,ty)=t^{n}f(x,y) $$ | $$ f(tx,ty)=t^{n}f(x,y) $$ | ||
Строка 8: | Строка 7: | ||
При ''n=0'' имеем функцию нулевого измерения. | При ''n=0'' имеем функцию нулевого измерения. | ||
- | Дифференциальное уравнение вида $\frac{dy}{dx}=f(x,y)$ называется однородным относительно ''x'' и ''y'', если ''f(x,y)'' есть однородная функция своих аргументов нулевого измерения. | + | Дифференциальное уравнение вида ${y}'=\frac{dy}{dx}=f(x,y)$ называется однородным относительно ''x'' и ''y'', если ''f(x,y)'' есть однородная функция своих аргументов нулевого измерения. |
Однородное уравнение всегда можно представить в виде $\frac{dy}{dx}=\varphi\left (\frac{y}{x} \right )$ | Однородное уравнение всегда можно представить в виде $\frac{dy}{dx}=\varphi\left (\frac{y}{x} \right )$ | ||
- | Вводя новую искомую функцию $u=\frac{y}{x}$ , имеем уравнение с разделяющимися переменными | + | Вводим новую переменную $u=\frac{y}{x}$ , тогда $y=u\cdot x \;;\; \frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}\cdot x+u\cdot 1$ |
+ | |||
+ | В результате, получаем уравнение с разделяющимися переменными | ||
$$ x\frac{du}{dx} = \varphi(u)-u $$ | $$ x\frac{du}{dx} = \varphi(u)-u $$ | ||
---- | ---- | ||
- | **Пример 1.** Решить уравнение | + | **Пример 1** |
+ | |||
+ | Найти [[общее решение дифференциального уравнения|общее решение дифференциального уравнения]]: | ||
+ | ${xy}'=x+2y$ | ||
+ | |||
+ | ''Решение дифференциального уравнения:'' | ||
+ | |||
+ | {{ youtube>YhVBJQQyAZg |Однородные дифференциальные уравнения. Пример решения }} | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | **Пример 2.** Решить уравнение ([[общее решение дифференциального уравнения|найти общее решение дифференциального уравнения]]) | ||
$$ {xy}' = \sqrt{x^{2} - y^{2}} + y $$ | $$ {xy}' = \sqrt{x^{2} - y^{2}} + y $$ | ||
Строка 46: | Строка 57: | ||
---- | ---- | ||
- | <box center 60%>[[start]]</box> | + | **Пример 3** |
+ | $$(x^{2}+2xy)\;dx+xy\;dy=0$$ | ||
+ | |||
+ | ''Решение:'' | ||
+ | |||
+ | {{ youtube>3xO9qQ-5I7A?7 |Однородные дифференциальные уравнения }} | ||
+ | |||
+ | ---- | ||
+ | <box 60%|⇐ [[start|Полный список тем по ДУ]]> | ||
+ | **[[start]]** | ||
+ | * [[Дифференциальные уравнения]] | ||
+ | * [[Дифференциальные уравнения первого порядка]] | ||
+ | * [[Уравнения с разделяющимися переменными]] | ||
+ | * [[Решение задачи Коши]] | ||
+ | * [[Общее решение дифференциального уравнения]] | ||
+ | * **Однородные дифференциальные уравнения** | ||
+ | * [[Уравнения, приводящиеся к однородным]] | ||
+ | * [[Линейные уравнения первого порядка]] | ||
+ | * [[Уравнение Бернулли]] | ||
+ | * [[Уравнение в полных дифференциалах]] | ||
+ | * [[Интегрирующий множитель]] | ||
+ | * [[Понижение порядка ду]] | ||
+ | * [[Линейные однородные уравнения 2 порядка]] | ||
+ | * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка]] | ||
+ | * [[Неоднородные линейные уравнения 2 порядка 2]] | ||
+ | * [[Геометрические и физические задачи]] | ||
+ | </box> |